Enunciado

Um jogo com tabuleiro 4 times 6 e peças:
  • Peça A: ocupa 3 quadrados horizontais
  • Peça B: ocupa 7 quadrados em formato “L”
  • Peça C: ocupa 4 quadrados verticais
    a) De quantas formas cada peça pode ser posicionada sem sobreposição?
    b) Se B está fixada na 3^a coluna, quantas maneiras A e C podem ser posicionadas?

Passo 1

Vamos resumir o problema. Temos um tabuleiro de 4times6 e três peças:
– Peça A: barra de comprimento 3 quadrados, só na orientação horizontal.
– Peça B: letra “L” formada por dois braços de 4 quadrados (um vertical e um horizontal), totalizando 4+4-1=7 quadrados. Pode ser girada em 4 orientações. O tamanho da “caixa mínima” de B é 4times4.
– Peça C: barra de comprimento 4 quadrados, só na orientação vertical.
Na parte (a) queremos contar, para cada peça isolada, de quantas maneiras ela se encaixa no tabuleiro (sem sair dos limites e sem se auto-sobrepor). Na parte (b) fixamos uma posição de B tal que seu braço vertical ocupe a coluna 3, e contamos de quantas maneiras podemos colocar A e C sem sobreposição com B nem entre si.

Passo 2

Contagem de posições da peça A.
Ela é uma barra 1times3, só horizontal. Em cada uma das 4 linhas ela pode começar nas colunas 1,2,3,4 (se começar em 5 ou 6 sairia do tabuleiro).
Logo o número de posições de A é
4 (linhas) ;times;4 (colunas de início) ;=;16 í

Passo 3

Contagem de posições da peça B.
Cada orientação de B cabe numa caixa de 4times4. O tabuleiro tem 4 linhas, logo verticalmente só cabe alinhada ao topo. Em colunas, essa caixa de largura 4 pode começar em 1, 2 ou 3 (pois 6-4+1=3). São 3 posições horizontais para cada uma das 4 rotações.
4 (rotações) ;times;3 (deslocamentos horizontais) ;=;12 çõ

Passo 4

Contagem de posições da peça C.
É uma barra 4times1, só vertical. Em colunas ela pode ocupar qualquer das 6 colunas, e verticalmente só cabe uma vez (4 linhas ocupadas de uma só vez).
6 (colunas) ;times;1 ;=;6

Passo 5

Agora parte (b): B está fixada de modo que seu braço vertical ocupe toda a coluna 3. Isso bloqueia esses 4 quadrados da coluna 3 e mais 3 quadrados em outra coluna (o braço horizontal), mas para contar A e C basta notar que em coluna 3 não cabe nada e que o braço horizontal de B também impede quadrados na linha correspondente. No entanto, como o braço horizontal está numa linha fixa ocupando colunas 3 a 6, ele só bloqueia uma linha extra nessa região. Vamos simplificar: a única coluna totalmente bloqueada é a coluna 3, e além disso na linha onde está o braço horizontal bloqueia colunas 4,5,6.
Contagem de posições de A que não intersectam B.
Originalmente A tinha 16 posições, mas qualquer barra de 3 quadrados que cruze a coluna 3 ou a linha do braço horizontal de B fica proibida. Note que as únicas posições viáveis de A ficam inteiras nas colunas 4,5,6, começando na coluna 4. Em cada uma das 4 linhas, há exatamente 1 posição válida (início na coluna 4).
posições válidas de (A) = 4 çõá

Passo 6

Contagem de posições de C sem sobrepor B.
C precisa de uma coluna livre para ocupar 4 quadrados. A coluna 3 está totalmente ocupada por B, então C pode ir em qualquer uma das outras 5 colunas:
posições válidas de (C) = 5 çõá

Passo 7

Agora contabilizamos pares (A,C) sem sobreposição mútua.
– Se C ficar na coluna 1 ou 2, não há nenhuma intersecção com as barras de A (que estão em colunas 4,5,6), então para cada uma dessas 2 colunas temos as 4 posições de A. Total 2times4=8.
– Se C ficar em qualquer coluna de 4,5,6, ele ocupará todas as 4 linhas dessa coluna e, portanto, conflitará com qualquer posição de A (que também ocupa um desses 4 quadrados). Logo nesses 3 casos não há posição de A compatível.
Somando, o total de configurações de (A,C) é
8 + 0 = 8

Resposta

a) A:16, B:12, C:6
b) 8 maneiras de posicionar A e C quando B está fixada na 3ª coluna.

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