Enunciado Questão 8

Considere a integral de linha \oint \gamma\left(x^{3}-y^{3}\right) d x+\left(y^{3}+x^{3}\right) d y ao redor de uma curva fechada \gamma que, por sua vez, delimita uma região D.
Utilizando o Teorema de Green, calcule o valor da integral de linha ao redor da curva \gamma :

Alternativas

A) 3. \iint_{D}\left(y^{2}-x^{2}\right) d A
в) 3 . \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A
c) \iint_{D}\left(x^{3}+y^{3}\right) d A
D) 3. \iint_{D}\left(x^{2}-y^{2}\right) d A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \oint_\gamma (x^3 - y^3)\,dx + (y^3 + x^3)\,dy
ao redor de uma curva fechada \gamma que delimita uma região D.
O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que conecta uma integral de linha a uma integral de área.

Passo 2

Identificamos as componentes do campo vetorial:
P(x,y) = x^3 - y^3, \qquad Q(x,y) = y^3 + x^3.

Passo 3

Pelo Teorema de Green temos
\oint_\gamma P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(y^3 + x^3) = 3x^2, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^3 - y^3) = -3y^2.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3x^2 - (-3y^2) = 3(x^2 + y^2).

Passo 5

Portanto,
\oint_\gamma (x^3 - y^3)\,dx + (y^3 + x^3)\,dy = \iint_{D} 3(x^2 + y^2)\,dA = 3 \iint_{D} (x^2 + y^2)\,dA.

Resposta

b) 3\;\displaystyle\iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA

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