Questão 19. Mostre, usando diretamente a regra da cadeia, que a função
é solução da equação de onda
para qualquer escolha das funções
. Use esse fato para explicar quantas condições iniciais são necessárias para determinar uma solução desta equação.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para mostrar, usando a regra da cadeia, que ela satisfaz a equação de onda unidimensional
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em
e em
aplicando a regra da cadeia.
Passo 2
Calcular
e
. Como
pela regra da cadeia:
Derivando de novo em
:
Passo 3
Calcular
e
. Novamente pela cadeia:
Derivando de novo em
:
Passo 4
Comparando as expressões de
e
, vemos que
logo
satisfaz a equação de onda.
Passo 5
Como a solução geral contém duas funções arbitrárias
e
, para fixá-las é preciso dar duas condições iniciais, tipicamente
, e
.
Resposta
Para determinar uma solução única da equação de onda
é necessário especificar duas condições iniciais, por exemplo
e
.