Questão 19. Mostre, usando diretamente a regra da cadeia, que a função
u(x, t)=F(x-a t)+G(x+a t)
é solução da equação de onda
a^{2} u_{x x}=u_{t t}
para qualquer escolha das funções F, G: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}. Use esse fato para explicar quantas condições iniciais são necessárias para determinar uma solução desta equação.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,t)=F(x - a\,t)+G(x + a\,t)
e pede para mostrar, usando a regra da cadeia, que ela satisfaz a equação de onda unidimensional
a^{2}\,u_{xx}=u_{tt}.
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em x e em t aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Calcular u_{x} e u_{xx}. Como
u(x,t)=F\bigl(\xi\bigr)+G\bigl(\eta\bigr), \quad \xi=x-a\,t,\quad \eta=x+a\,t,
pela regra da cadeia:
u_{x}=F'(\xi)\,\frac{\partial\xi}{\partial x}+G'(\eta)\,\frac{\partial\eta}{\partial x} =F'(\xi)\cdot1+G'(\eta)\cdot1 =F'(x-a\,t)+G'(x+a\,t).
Derivando de novo em x:
u_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[F'(x-a\,t)+G'(x+a\,t)\bigr] =F''(x-a\,t)\cdot1+G''(x+a\,t)\cdot1 =F''(x-a\,t)+G''(x+a\,t).

Passo 3

Calcular u_{t} e u_{tt}. Novamente pela cadeia:
u_{t} =F'(\xi)\,\frac{\partial\xi}{\partial t}+G'(\eta)\,\frac{\partial\eta}{\partial t} =F'(x-a\,t)\cdot(-a)+G'(x+a\,t)\cdot a =-a\,F'(x-a\,t)+a\,G'(x+a\,t).
Derivando de novo em t:
u_{tt} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl[-a\,F'(x-a\,t)+a\,G'(x+a\,t)\bigr] =-a\bigl[F''(x-a\,t)\cdot(-a)\bigr]+a\bigl[G''(x+a\,t)\cdot a\bigr] =a^{2}F''(x-a\,t)+a^{2}G''(x+a\,t).

Passo 4

Comparando as expressões de u_{xx} e u_{tt}, vemos que
u_{tt} =a^{2}\bigl[F''(x-a\,t)+G''(x+a\,t)\bigr] =a^{2}\,u_{xx},
logo u(x,t)=F(x-a\,t)+G(x+a\,t) satisfaz a equação de onda.

Passo 5

Como a solução geral contém duas funções arbitrárias F e G, para fixá-las é preciso dar duas condições iniciais, tipicamente \;u(x,0)=f(x), e \;u_{t}(x,0)=g(x).

Resposta

Para determinar uma solução única da equação de onda a^{2}u_{xx}=u_{tt} é necessário especificar duas condições iniciais, por exemplo u(x,0) e u_{t}(x,0).

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