A integral de linha ou integral de curva (curvilínea) tem um papel importante tanto do ponto de vista teórico quanto do ponto de vista prático. Pode ser aplicada em várias situações, como no comportamento de um campo vetorial ou um campo escalar. Assim, considere o campo vetorial \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})=\left(-\frac{2 \boldsymbol{x}}{\left(\boldsymbol{x}^{2}-\boldsymbol{y}^{2}\right)^{2}}, \frac{2 y}{\left(\boldsymbol{x}^{2}-\boldsymbol{y}^{2}\right)^{2}}, \boldsymbol{z}^{2}\right).
Aplique a teoria dos campos conservativos e calcule a integral de linha \int_{\gamma} \overrightarrow{\boldsymbol{F} d \boldsymbol{r}}, em que \gamma é a curva descrita pelo caminho g(t)=\left(e^{t}\right., sent, \left.t\right), 0<t<\frac{\pi}{2}.

Alternativas

A) \int_{\gamma} \overrightarrow{F d r}=\frac{1}{e^{\pi}-1}
B) \int_{\gamma} \overrightarrow{F d r}=\frac{1}{e^{\pi}-1}+\frac{\pi^{3}}{24}-1
c) \int_{\gamma} \vec{F} d \vec{r}=\frac{1}{e^{\pi}-1}+\frac{\pi^{3}}{8}
D) \int_{\gamma} \overrightarrow{F d r}=\frac{\pi^{3}}{8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
do campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\Bigl(-\frac{2x}{(x^2-y^2)^2},\;\frac{2y}{(x^2-y^2)^2},\;z^2\Bigr)
ao longo da curva
\gamma:\;g(t)=(e^t,\;\sin t,\;t),\quad 0<t<\frac{\pi}{2}.
Como a teoria dos campos conservativos nos diz que, se \mathbf{F}=\nabla\varphi, então
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi\bigl(\gamma(\tfrac{\pi}{2})\bigr)-\varphi\bigl(\gamma(0)\bigr),
vamos achar primeiro um potencial \varphi.

Passo 2

Procuramos \varphi(x,y,z) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=-\frac{2x}{(x^2-y^2)^2}, \quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{2y}{(x^2-y^2)^2}, \quad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=z^2.
Integrando em x o primeiro termo, note que, com u=x^2-y^2, temos \partial u/\partial x=2x, então
\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\tfrac{1}{x^2-y^2}\Bigr) =-\frac{2x}{(x^2-y^2)^2},
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\varphi(x,y,z)=\frac{1}{x^2-y^2}+h(y,z).
Como
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =\frac{2y}{(x^2-y^2)^2}+\frac{\partial h}{\partial y}
deve coincidir com \tfrac{2y}{(x^2-y^2)^2}, segue \partial h/\partial y=0, ou seja, h=h(z). Finalmente, integrando \partial\varphi/\partial z=h'(z)=z^2
h(z)=\frac{z^3}{3}+C.
Tomando C=0 sem perda de generalidade, o potencial é
\varphi(x,y,z)=\frac{1}{x^2-y^2}+\frac{z^3}{3}.

Passo 3

Avaliamo \varphi nos pontos inicial e final de \gamma: \gamma(0)=(1,0,0) e \gamma(\tfrac{\pi}{2})=(e^{\pi/2},1,\tfrac{\pi}{2}).
\varphi\bigl(1,0,0\bigr) =\frac{1}{1^2-0^2}+\frac{0^3}{3} =1,
\varphi\Bigl(e^{\pi/2},1,\tfrac{\pi}{2}\Bigr) =\frac{1}{(e^{\pi/2})^2-1^2}+\frac{\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^3}{3} =\frac{1}{e^{\pi}-1}+\frac{\pi^3}{24}.

Passo 4

Pela fórmula fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\varphi\bigl(e^{\pi/2},1,\tfrac{\pi}{2}\bigr) -\varphi(1,0,0) =\frac{1}{e^{\pi}-1}+\frac{\pi^3}{24}-1.

Resposta

B) \displaystyle \frac{1}{e^{\pi}-1}+\frac{\pi^{3}}{24}-1

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