Nos problemas de 1 a 3, é dada uma função f\) em um intervalo de comprimento \(L\). Em cada caso, esboce os gráficos das extensões par e ímpar de \(f\) de período \(2 L\). Determine a série de Fourier de cossenos de \(f(x)= \begin{cases}x, & 0 \leq x<2 \\\\ 1, & 2 \leq x<3\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função f\) em \([0,3]\) (logo \(L=3\)) definida por \[f(x)= \begin{cases} x, & 0\le x<2,\\\\ 1, & 2\le x<3, \end{cases}
e pede a série de Fourier de cossenos, isto é, a expansão de f\] em \[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\] para a extensão par periódica de período \(2L=6.

Passo 2

Para a expansão em cossenos com L=3 usamos as fórmulas
a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx.

Passo 3

Cálculo de a_0:
\int_{0}^{3}f(x)\,dx =\int_{0}^{2}x\,dx+\int_{2}^{3}1\,dx =\tfrac12\cdot2^2+1=2+1=3,
logo
a_0=\frac{2}{3}\cdot3=2.

Passo 4

Cálculo de a_n. Seja \alpha=\tfrac{n\pi}{3}.
Dividimos a integral em duas partes:
\int_{0}^{3}f(x)\cos(\alpha x)\,dx =\int_{0}^{2}x\cos(\alpha x)\,dx +\int_{2}^{3}1\cdot\cos(\alpha x)\,dx.
Pela integração por partes em \int_{0}^{2}x\cos(\alpha x)\,dx obtemos
I_1 =\Bigl[x\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha}\Bigr]_0^2 -\int_{0}^{2}\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha}\,dx =2\frac{\sin(2\alpha)}{\alpha}+\frac{\cos(2\alpha)-1}{\alpha^2}.
E
I_2 =\int_{2}^{3}\cos(\alpha x)\,dx =\frac{\sin(\alpha x)}{\alpha}\Big|_{2}^{3} =\frac{\sin(3\alpha)-\sin(2\alpha)}{\alpha}.
Assim
a_n =\frac{2}{3}\bigl(I_1+I_2\bigr) =\frac{2}{3}\Bigl[ 2\frac{\sin(2\alpha)}{\alpha}+\frac{\cos(2\alpha)-1}{\alpha^2} +\frac{\sin(3\alpha)-\sin(2\alpha)}{\alpha} \Bigr].

Passo 5

Como \sin(3\alpha)=\sin(n\pi)=0 e \alpha=n\pi/3, nota-se \sin(2\alpha)=\sin(2n\pi/3). Reunindo termos:
a_n =\frac{2}{3}\Bigl[\frac{\sin(2n\pi/3)}{\alpha}+\frac{\cos(2n\pi/3)-1}{\alpha^2}\Bigr] =2\,\frac{\sin(2n\pi/3)}{n\pi} +6\,\frac{\cos(2n\pi/3)-1}{n^2\pi^2}.

Resposta

A série de Fourier de cossenos de f é
f(x) =1+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl( 2\,\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)}{n\pi} +6\,\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi}{3}\bigr)-1}{n^2\pi^2} \Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{3}\Bigr).

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