Sejam A, B e C os vértices de um triângulo e M, N e P os pontos médios dos segmentos de reta A B, B C e C A, respectivamente.
(a) Escreva os vetores B P, A N e C M em termos dos vetores A B e A C.
(b) Mostre que B P+A N+C M=0.
(c) Mostre que o segmento de reta que une os pontos médios dos lados nāo paralelos de um trapézio é paralelo às bases e que sua medida é a média das medidas das bases.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado fala sobre um triângulo com vértices A, B e C , e os pontos médios M, N e P dos lados AB, BC e CA , respectivamente. A gente vai usar conceitos de vetores, especificamente combinação de vetores e propriedades dos pontos médios, para resolver as partes (a), (b) e (c) do exercício.

Passo 2

Parte (a): Vamos escrever os vetores BP, AN e CM em termos de AB e AC .
Primeiro, lembrando que P é o ponto médio de AC , então:
AP = 12 AC
Assim, o vetor BP pode ser escrito como:
BP = BA + AP = -AB + 12 AC
Agora, N é o ponto médio de BC , então:
BN = 12 BC = 12 (AC - AB)
Portanto, o vetor AN é:
AN = AB + BN = AB + 12 (AC - AB) = 12 AB + 12 AC
Finalmente, M é o ponto médio de AB , então:
AM = 12 AB
Logo, o vetor CM é:
CM = CA + AM = -AC + 12 AB

Passo 3

Parte (b): Agora, vamos mostrar que BP + AN + CM = 0 .
Vamos somar os vetores que encontramos na parte (a):
BP + AN + CM = (-AB + 12 AC) + (12 AB + 12 AC) + (-AC + 12 AB)
Agora, somando os termos semelhantes:
(-AB + 12 AB + 12 AB) + (12 AC + 12 AC - AC) = 0 + 0 = 0
Então, conforme queríamos demonstrar:
BP + AN + CM = 0

Passo 4

Parte (c): Vamos mostrar que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a média das medidas das bases.
Primeiro, lembre-se que um trapézio tem duas bases paralelas. Vamos chamar de A e B as bases paralelas, e C e D os lados não paralelos. Seja M o ponto médio de AD e N o ponto médio de BC .
O vetor que une M e N pode ser expresso como:
MN = N - M
Como M e N são pontos médios, temos:
M = 12 (A + D) e N = 12 (B + C)
Então:
MN = 12 (B + C) - 12 (A + D) = 12 (B - A + C - D)
Como A e B são as bases paralelas, os vetores AB e DC são iguais e paralelos. Portanto:
MN paral<=l AB e |MN| = 12 (|AB| + |DC|)
Isso mostra que o segmento MN é paralelo às bases e sua medida é a média das medidas das bases.

Resposta

Resolvido! Demonstramos as relações vetoriais e a propriedade das médias em um trapézio conforme solicitado.

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