Enuncie e demonstre um critério de divisibilidade por 8.

Passo 1

O enunciado é curto e claro: enunciar e demonstrar um critério de divisibilidade por 8.\n
Informações/condições dadas (implícitas no enunciado): números inteiros escritos na base decimal (base 10).\n
O que se pede: apresentar um critério prático (uma condição fácil de checar) que seja equivalente a dizer “um inteiro é divisível por 8”, e provar por que esse critério funciona.

Passo 2

Primeiro lembrete útil (teorema da divisão): qualquer inteiro n pode ser escrito, de forma única, como
n = q\cdot m + r,
onde m é um divisor fixo positivo, q é o quociente inteiro e r é o resto com 0 \le r < m. Aqui vamos aplicar isso com m = 1000 para isolar os últimos três dígitos de n.\n
Explicando em linguagem simples: escrever n em base 10 significa que ele é soma de “blocos” de potências de 10. Se dividirmos por 1000 (que é 10^3), o resto r é exatamente o número formado pelos últimos 3 dígitos de n.

Passo 3

Agora note a seguinte igualdade numérica simples (tudo em \mathbb{Z}):
1000 = 8 \cdot 125.
Isto mostra que 1000 é múltiplo de 8, ou seja, 1000 é divisível por 8. Em linguagem de congruências isso dá
1000 \equiv 0 \pmod{8}.

Passo 4

Use a escrita do Passo 2: escrevemos
n = 1000\cdot q + r,
com 0 \le r \le 999 e r sendo o número formado pelos últimos 3 dígitos de n.\n
Agora reduzimos essa igualdade módulo 8. Como 1000\equiv 0\pmod{8}, temos
n \equiv 1000\cdot q + r \equiv 0\cdot q + r \equiv r \pmod{8}.
Isto significa que n e r têm o mesmo resto na divisão por 8: n é divisível por 8 se, e somente se, r é divisível por 8.

Passo 5

Interpretação prática do Passo 4 (o critério): para saber se um inteiro n é divisível por 8 basta olhar os seus últimos 3 dígitos (o número r) e verificar se r é divisível por 8. Se r for múltiplo de 8, então n é múltiplo de 8; se r não for, então n não é.\n
Comentário pedagógico: por que três dígitos e não dois? Porque 10^2=100\equiv 4\pmod{8} (não é zero), enquanto 10^3=1000\equiv 0\pmod{8}. Assim qualquer potência 10^k com k\ge 3 é múltipla de 8, logo todos os blocos além dos últimos três dígitos não interferem na divisibilidade por 8.

Passo 6

Dois exemplos rápidos para fixar:\n
  • Exemplo 1: n=123456. Os últimos 3 dígitos são 456. Como
456 = 8 \cdot 57,
então 456 é múltiplo de 8, logo 123456 é múltiplo de 8.\n
  • Exemplo 2: n=2017. Os últimos 3 dígitos são 017 (ou simplesmente 17). 17 não é divisível por 8, logo 2017 não é divisível por 8.

Resposta

Um inteiro é divisível por 8 se, e somente se, seus últimos 3 dígitos formarem um número divisível por 8.

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