Enuncie e demonstre um critério de divisibilidade por 8.
Passo 1
O enunciado é curto e claro: enunciar e demonstrar um critério de divisibilidade por
.\n
Informações/condições dadas (implícitas no enunciado): números inteiros escritos na base decimal (base ).\n
O que se pede: apresentar um critério prático (uma condição fácil de checar) que seja equivalente a dizer “um inteiro é divisível por ”, e provar por que esse critério funciona.
Informações/condições dadas (implícitas no enunciado): números inteiros escritos na base decimal (base
O que se pede: apresentar um critério prático (uma condição fácil de checar) que seja equivalente a dizer “um inteiro é divisível por
Passo 2
Primeiro lembrete útil (teorema da divisão): qualquer inteiro
pode ser escrito, de forma única, como
onde
é um divisor fixo positivo,
é o quociente inteiro e
é o resto com
. Aqui vamos aplicar isso com
para isolar os últimos três dígitos de
.\n
Explicando em linguagem simples: escrever em base
significa que ele é soma de “blocos” de potências de
. Se dividirmos por
(que é
), o resto
é exatamente o número formado pelos últimos
dígitos de
.
Explicando em linguagem simples: escrever
Passo 3
Agora note a seguinte igualdade numérica simples (tudo em
):
Isto mostra que
é múltiplo de
, ou seja,
é divisível por
. Em linguagem de congruências isso dá
Passo 4
Use a escrita do Passo 2: escrevemos
com
e
sendo o número formado pelos últimos
dígitos de
.\n
Agora reduzimos essa igualdade módulo . Como
, temos
Agora reduzimos essa igualdade módulo
Isto significa que
e
têm o mesmo resto na divisão por
:
é divisível por
se, e somente se,
é divisível por
.
Passo 5
Interpretação prática do Passo 4 (o critério): para saber se um inteiro
é divisível por
basta olhar os seus últimos
dígitos (o número
) e verificar se
é divisível por
. Se
for múltiplo de
, então
é múltiplo de
; se
não for, então
não é.\n
Comentário pedagógico: por que três dígitos e não dois? Porque (não é zero), enquanto
. Assim qualquer potência
com
é múltipla de
, logo todos os blocos além dos últimos três dígitos não interferem na divisibilidade por
.
Comentário pedagógico: por que três dígitos e não dois? Porque
Passo 6
Dois exemplos rápidos para fixar:\n
- Exemplo 1:
. Os últimos dígitos são . Como
então
é múltiplo de
, logo
é múltiplo de
.\n
- Exemplo 2:
. Os últimos dígitos são (ou simplesmente ). não é divisível por , logo não é divisível por .
Resposta
Um inteiro é divisível por
se, e somente se, seus últimos
dígitos formarem um número divisível por
.