Usando o critério de divisibilidade por 9 e por 11, determine se os inteiros 176521221 e 349235678 são divisíveis por 9 ou por 11.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando os critérios de divisibilidade por 9 e por 11, se os inteiros \,176521221 e \,349235678 são divisíveis por 9 ou por 11. Informações dadas:
  • O primeiro número é \,176521221.
  • O segundo número é \,349235678.
    A tarefa é aplicar os critérios de divisibilidade por 9 e por 11 a esses dois números e decidir, para cada um, se é divisível por 9 e se é divisível por 11.

Passo 2

Regra do 9 (explicação didática): um número é divisível por 9 se, e somente se, a soma dos seus dígitos for múltipla de 9. Por que isso funciona, em palavras simples: escrevendo um número em base 10 como \sum a_k 10^k, temos 10\equiv1\pmod{9}, então 10^k\equiv1\pmod{9} e o número é congruente à soma dos seus dígitos módulo 9. Logo basta somar os dígitos e ver se o resultado é múltiplo de 9.

Passo 3

Aplicando o critério de 9 ao número \,176521221. Vou somar dígito a dígito, devagarinho:
1+7+6+5+2+1+2+2+1=27.
Como \,27=9\cdot3 é múltiplo de 9, concluímos que \,176521221 é divisível por 9.

Passo 4

Regra do 11 (explicação didática): um número é divisível por 11 se, e somente se, a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares for múltipla de 11. Uma maneira prática de aplicar: numerar as posições a partir da direita (unidade = posição 1), fazer a soma dos dígitos das posições ímpares e a soma das posições pares, e subtrair. Por que isso funciona: 10\equiv -1\pmod{11}, então 10^k\equiv(-1)^k\pmod{11} e o número fica congruente ao somatório alternado dos dígitos.

Passo 5

Aplicando o critério de 11 ao número \,176521221. Primeiro, coloque os dígitos com as posições (da direita para a esquerda):
  • posição 1: 1
  • posição 2: 2
  • posição 3: 2
  • posição 4: 1
  • posição 5: 2
  • posição 6: 5
  • posição 7: 6
  • posição 8: 7
  • posição 9: 1
Soma dos dígitos em posições ímpares:
1+2+2+6+1=12.
Soma dos dígitos em posições pares:
2+1+5+7=15.
Diferença:
12-15=-3.
Como -3 não é múltiplo de 11 (ou seja, não é congruente a 0 módulo 11), o número \,176521221 NÃO é divisível por 11.

Passo 6

Aplicando o critério de 9 ao número \,349235678. Soma dos dígitos:
3+4+9+2+3+5+6+7+8=47.
Como 47 não é múltiplo de 9 (o múltiplo mais próximo é 45), concluímos que \,349235678 NÃO é divisível por 9.

Passo 7

Aplicando o critério de 11 ao número \,349235678. Posicionando dígitos da direita para a esquerda:
  • posição 1: 8
  • posição 2: 7
  • posição 3: 6
  • posição 4: 5
  • posição 5: 3
  • posição 6: 2
  • posição 7: 9
  • posição 8: 4
  • posição 9: 3
Soma dos dígitos em posições ímpares:
8+6+3+9+3=29.
Soma dos dígitos em posições pares:
7+5+2+4=18.
Diferença:
29-18=11.
Como 11 é múltiplo de 11, concluímos que \,349235678 É divisível por 11.

Passo 8

Resumo rápido (sem cálculos aqui, só relembrando as conclusões já obtidas):
  • \,176521221 é divisível por 9 e não é divisível por 11.
  • \,349235678 não é divisível por 9 e é divisível por 11.

Resposta

\,176521221: divisível por 9; não divisível por 11.
\,349235678: não divisível por 9; divisível por 11.

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