Usando o critério de divisibilidade por 9 e por 11, determine se os inteiros 176521221 e 349235678 são divisíveis por 9 ou por 11.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando os critérios de divisibilidade por
e por
, se os inteiros
e
são divisíveis por
ou por
. Informações dadas:
- O primeiro número é
. - O segundo número é
.
A tarefa é aplicar os critérios de divisibilidade pore por a esses dois números e decidir, para cada um, se é divisível por e se é divisível por .
Passo 2
Regra do
(explicação didática): um número é divisível por
se, e somente se, a soma dos seus dígitos for múltipla de
. Por que isso funciona, em palavras simples: escrevendo um número em base
como
, temos
, então
e o número é congruente à soma dos seus dígitos módulo
. Logo basta somar os dígitos e ver se o resultado é múltiplo de
.
Passo 3
Aplicando o critério de
ao número
. Vou somar dígito a dígito, devagarinho:
Como
é múltiplo de
, concluímos que
é divisível por
.
Passo 4
Regra do
(explicação didática): um número é divisível por
se, e somente se, a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e a soma dos dígitos em posições pares for múltipla de
. Uma maneira prática de aplicar: numerar as posições a partir da direita (unidade = posição
), fazer a soma dos dígitos das posições ímpares e a soma das posições pares, e subtrair. Por que isso funciona:
, então
e o número fica congruente ao somatório alternado dos dígitos.
Passo 5
Aplicando o critério de
ao número
. Primeiro, coloque os dígitos com as posições (da direita para a esquerda):
- posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
:
Soma dos dígitos em posições ímpares:
Soma dos dígitos em posições pares:
Diferença:
Como
não é múltiplo de
(ou seja, não é congruente a
módulo
), o número
NÃO é divisível por
.
Passo 6
Aplicando o critério de
ao número
. Soma dos dígitos:
Como
não é múltiplo de
(o múltiplo mais próximo é
), concluímos que
NÃO é divisível por
.
Passo 7
Aplicando o critério de
ao número
. Posicionando dígitos da direita para a esquerda:
- posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
: - posição
:
Soma dos dígitos em posições ímpares:
Soma dos dígitos em posições pares:
Diferença:
Como
é múltiplo de
, concluímos que
É divisível por
.
Passo 8
Resumo rápido (sem cálculos aqui, só relembrando as conclusões já obtidas):
-
é divisível por e não é divisível por . -
não é divisível por e é divisível por .