Enuncie e demonstre o Teorema do Homomorfismo. Faça algum comentário que considere interessante a respeito e dê algum exemplo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Teorema do Homomorfismo. Primeiro, vamos entender o que a questão pede: precisamos enunciar (ou seja, apresentar de forma clara) e demonstrar esse teorema. Além disso, vamos comentar algo interessante sobre ele e dar um exemplo para fixar. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Abstrata, especificamente de Teoria de Grupos, e vamos precisar entender o que são homomorfismos, núcleos e imagens de grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos enunciar o Teorema do Homomorfismo. Esse teorema é fundamental na teoria dos grupos e estabelece uma relação entre grupos e seus homomorfismos.
Teorema do Homomorfismo:
Seja phi: G H um homomorfismo de grupos, então:
G / ker(phi) cong Im(phi)
Isso significa que o quociente do grupo G pelo núcleo de phi é isomorfo à imagem de phi .

Passo 3

Agora, vamos explicar cada parte desse enunciado. Um homomorfismo de grupos é uma função phi que respeita a estrutura de grupo, ou seja, para todos a, b in G :
phi(ab) = phi(a)phi(b)
O núcleo de phi , denotado ker(phi) , é o conjunto de elementos de G que são mapeados para o elemento neutro em H :
ker(phi) = g in G mid phi(g) = eH
A imagem de phi , denotada Im(phi) , é o conjunto de todos os elementos em H que são imagens de elementos de G :
Im(phi) = phi(g) mid g in G
O símbolo cong significa que os grupos são isomorfos, ou seja, estruturalmente iguais.

Passo 4

Vamos agora demonstrar o teorema. A ideia principal é mostrar que há uma correspondência biunívoca (bijetiva) entre os elementos de G / ker(phi) e Im(phi) que preserva a operação de grupo.
Demonstração:
  1. Definir uma função bem-definida:
    Definimos psi: G / ker(phi) Im(phi) por:
psi(g ker(phi)) = phi(g)
Precisamos mostrar que psi está bem-definida, ou seja, se g ker(phi) = g' ker(phi) , então phi(g) = phi(g') .
  1. Verificar que psi é injetora:
    Se psi(g ker(phi)) = psi(g' ker(phi)) , então phi(g) = phi(g') . Isso implica que g^-1g' in ker(phi) , ou seja, g ker(phi) = g' ker(phi) . Logo, psi é injetora.
  2. Verificar que psi é sobrejetora:
    Para qualquer h in Im(phi) , existe g in G tal que phi(g) = h . Então, h = psi(g ker(phi)) , o que mostra que psi é sobrejetora.
  3. Verificar que psi é homomorfismo:
    Para g ker(phi), g' ker(phi) in G / ker(phi) :
psi((g ker(phi))(g' ker(phi))) = psi(gg' ker(phi)) = phi(gg') = phi(g)phi(g') = psi(g ker(phi)) psi(g' ker(phi))
Logo, psi preserva a operação de grupo.
Como psi é uma aplicação bijetora que preserva a operação de grupo, G / ker(phi) é isomorfo a Im(phi) , o que conclui a demonstração.

Passo 5

Um comentário interessante sobre o Teorema do Homomorfismo é que ele nos permite entender a estrutura de um grupo G em termos de seu núcleo e a imagem que ele “alcança” em H . Isso é super útil para decompor grupos complexos em partes mais simples e entender como eles se relacionam através de homomorfismos.

Passo 6

Vamos ver um exemplo prático.
Exemplo:
Considere os grupos G = Z (inteiros com a adição) e H = Z6 (inteiros módulo 6 com a adição). Definimos um homomorfismo phi: Z Z6 por:
phi(n) = [n]6
O núcleo de phi é:
ker(phi) = 6Z = dots, -12, -6, 0, 6, 12, dots
A imagem de phi é todo Z6 , já que qualquer elemento de Z6 pode ser obtido como imagem de algum inteiro.
Pelo Teorema do Homomorfismo:
Z / 6Z cong Z6
Ou seja, os inteiros módulo 6 são isomorfos ao quociente de Z por 6Z , confirmando o teorema na prática.

Resposta

Pronto! Enunciamos e demonstramos o Teorema do Homomorfismo, comentamos algo legal sobre ele e vimos um exemplo para ilustrar. Se tiver mais dúvidas, é só chamar!

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