Enuncie e demonstre o Teorema do Homomorfismo. Faça algum comentário que considere interessante a respeito e dê algum exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Teorema do Homomorfismo. Primeiro, vamos entender o que a questão pede: precisamos enunciar (ou seja, apresentar de forma clara) e demonstrar esse teorema. Além disso, vamos comentar algo interessante sobre ele e dar um exemplo para fixar. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Abstrata, especificamente de Teoria de Grupos, e vamos precisar entender o que são homomorfismos, núcleos e imagens de grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos enunciar o Teorema do Homomorfismo. Esse teorema é fundamental na teoria dos grupos e estabelece uma relação entre grupos e seus homomorfismos.
Teorema do Homomorfismo:
Seja um homomorfismo de grupos, então:
Seja
Isso significa que o quociente do grupo
pelo núcleo de
é isomorfo à imagem de
.
Passo 3
Agora, vamos explicar cada parte desse enunciado. Um homomorfismo de grupos é uma função
que respeita a estrutura de grupo, ou seja, para todos
:
O núcleo de
, denotado
, é o conjunto de elementos de
que são mapeados para o elemento neutro em
:
A imagem de
, denotada
, é o conjunto de todos os elementos em
que são imagens de elementos de
:
O símbolo
significa que os grupos são isomorfos, ou seja, estruturalmente iguais.
Passo 4
Vamos agora demonstrar o teorema. A ideia principal é mostrar que há uma correspondência biunívoca (bijetiva) entre os elementos de
e
que preserva a operação de grupo.
Demonstração:
- Definir uma função bem-definida:
Definimospor:
Precisamos mostrar que
está bem-definida, ou seja, se
, então
.
-
Verificar que
é injetora:
Se, então . Isso implica que , ou seja, . Logo, é injetora. -
Verificar que
é sobrejetora:
Para qualquer, existe tal que . Então, , o que mostra que é sobrejetora. -
Verificar que
é homomorfismo:
Para:
Logo,
preserva a operação de grupo.
Como
é uma aplicação bijetora que preserva a operação de grupo,
é isomorfo a
, o que conclui a demonstração.
Passo 5
Um comentário interessante sobre o Teorema do Homomorfismo é que ele nos permite entender a estrutura de um grupo
em termos de seu núcleo e a imagem que ele “alcança” em
. Isso é super útil para decompor grupos complexos em partes mais simples e entender como eles se relacionam através de homomorfismos.
Passo 6
Vamos ver um exemplo prático.
Exemplo:
Considere os grupos (inteiros com a adição) e
(inteiros módulo 6 com a adição). Definimos um homomorfismo
por:
Considere os grupos
O núcleo de
é:
A imagem de
é todo
, já que qualquer elemento de
pode ser obtido como imagem de algum inteiro.
Pelo Teorema do Homomorfismo:
Ou seja, os inteiros módulo 6 são isomorfos ao quociente de
por
, confirmando o teorema na prática.
Resposta
Pronto! Enunciamos e demonstramos o Teorema do Homomorfismo, comentamos algo legal sobre ele e vimos um exemplo para ilustrar. Se tiver mais dúvidas, é só chamar!