Questão 3 (2 pontos)
Se \mathbf{F} for um campo vetorial definido por
\mathbf{F}(\mathbf{x}, \mathbf{y})=e^{y} \mathbf{i}+x e^{y} \mathbf{j}+(z+1) e^{z} \mathbf{k}
. Prove que \mathbf{F} é conservativo e ache a função potencial para \mathbf{F}.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo vetorial em \mathbb{R}^3
\mathbf{F}(x,y,z)=e^{y}\,\mathbf{i}+x e^{y}\,\mathbf{j}+(z+1)e^{z}\,\mathbf{k}
e pede para provar que \mathbf{F} é conservativo e encontrar uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}. Para isso, vamos usar o critério de que um campo vetorial com componente-vetor continuamente diferenciável é conservativo se e somente se seu rotacional for o vetor zero em um domínio simplesmente conexo (aqui \mathbb{R}^3 serve).

Passo 2

Calcular o rotacional de \mathbf{F}. Lembrando que
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\\ F_1&F_2&F_3 \end{vmatrix}
com F_1=e^y, F_2=x e^y e F_3=(z+1)e^z. Então:
(\nabla\times\mathbf{F})_x =\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} =0-0=0,
(\nabla\times\mathbf{F})_y =\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} =0-0=0,
(\nabla\times\mathbf{F})_z =\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} =e^{y}-e^{y}=0.
Portanto \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}, mostrando que \mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para encontrar \varphi, usamos \nabla\varphi=\mathbf{F}. Primeiro, da igualdade
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=F_1=e^y
integramos em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int e^y\,dx = x e^y + g(y,z),
onde g(y,z) é uma ``constante'' de integração que pode depender de y e z.

Passo 4

Agora usamos a componente em y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x e^y + g(y,z)\bigr) =x e^y + \frac{\partial g}{\partial y}
deve ser igual a F_2=x e^y. Logo
x e^y + \frac{\partial g}{\partial y} = x e^y \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0,
isto é, g não depende de y, só de z. Escrevemos g(y,z)=h(z).

Passo 5

Finalmente, igualamos a derivada em z:
\frac{\partial \varphi}{\partial z} =\frac{d}{dz}\bigl(x e^y + h(z)\bigr) =h'(z)
deve coincidir com F_3=(z+1)e^z. Então
h'(z)=(z+1)e^z.
Integramos em z:
h(z)=\int (z+1)e^z\,dz =\int z e^z\,dz + \int e^z\,dz =(z e^z)+C,
onde usei \int z e^z\,dz=(z-1)e^z e \int e^z\,dz=e^z, somando dá z e^z, mais uma constante C.

Resposta

A função potencial é
\varphi(x,y,z)=x e^y + z e^z + C,
onde C é constante arbitrária.

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