Enuncie e demontre o Teorema do Confronto.
Passo 1
O enunciado pede para apresentar e provar o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Sanduíche). Esse resultado pertence ao conteúdo de limites de funções reais e usa a definição
–
de limite junto com desigualdades para “apertar” uma função entre duas outras cujos limites coincidam.
Passo 2
Enunciado do Teorema do Confronto:
Sejam ,
e
funções definidas num intervalo que contém
(talvez exceto no próprio
), e suponha que, para todo
suficientemente próximo de
, vale
Sejam
Se
então também
Passo 3
Demonstração usando a definição
–
de limite:
Dado
, como
, existe
tal que
De modo semelhante, como
, existe
tal que
Escolhemos
Para todo
com
, temos simultaneamente
e
. Além disso, pela hipótese do confronto,
Isso implica que
logo
Isso mostra, pela definição de limite, que
Resposta
O Teorema do Confronto afirma que, se
perto de
e
, então
.