Enuncie e demontre o Teorema do Confronto.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar e provar o Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Sanduíche). Esse resultado pertence ao conteúdo de limites de funções reais e usa a definição \epsilon \delta de limite junto com desigualdades para “apertar” uma função entre duas outras cujos limites coincidam.

Passo 2

Enunciado do Teorema do Confronto:
Sejam f, g e h funções definidas num intervalo que contém a (talvez exceto no próprio a), e suponha que, para todo x\neq a suficientemente próximo de a, vale
g(x)\le f(x)\le h(x).
Se
\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L,
então também
\lim_{x\to a}f(x)=L.

Passo 3

Demonstração usando a definição \epsilon \delta de limite:
Dado \varepsilon>0, como \lim_{x\to a}g(x)=L, existe \delta_1>0 tal que
\text{se }0<|x-a|<\delta_1\text{ então }|g(x)-L|<\varepsilon.ã
De modo semelhante, como \lim_{x\to a}h(x)=L, existe \delta_2>0 tal que
\text{se }0<|x-a|<\delta_2\text{ então }|h(x)-L|<\varepsilon.ã
Escolhemos
\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}.
Para todo x\neq a com |x-a|<\delta, temos simultaneamente |g(x)-L|<\varepsilon e |h(x)-L|<\varepsilon. Além disso, pela hipótese do confronto,
g(x)\le f(x)\le h(x).
Isso implica que
-\varepsilon<g(x)-L\le f(x)-L\le h(x)-L<\varepsilon,
logo
|f(x)-L|<\varepsilon.
Isso mostra, pela definição de limite, que
\lim_{x\to a}f(x)=L.

Resposta

O Teorema do Confronto afirma que, se g(x)\le f(x)\le h(x) perto de a e \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L, então \lim_{x\to a}f(x)=L.

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