Enuncie a duas propriedades que caracterizam a projeção ortogonal de um vetor v sobre outro vetor u. Se u=(2,1) e v=(3,3), calcule proju v.

Passo 1

O enunciado quer que a gente apresente as duas propriedades que definem a projeção ortogonal de um vetor v sobre um vetor u e depois calcule de fato
projuv
para u=(2,1) e v=(3,3). Vamos usar conceitos de produto interno e ortogonalidade para isso.

Passo 2

As duas propriedades que caracterizam a projeção ortogonal p=projuv são:
  1. p é paralelo a u, isto é, existe lambdainR tal que p=lambda,u.
  2. O erro v-p é ortogonal a u, ou seja,
(v-p)cdotu=0

Passo 3

A partir dessas duas condições chega-se à fórmula padrão da projeção ortogonal:
projuv =ucdotvucdotu,u

Passo 4

Calculemos os produtos internos necessários:
ucdotv=2cdot3 + 1cdot3 = 9, ucdotu=2^2 + 1^2 = 5
Logo o fator é 95, e portanto
projuv =95,(2,1) =l(tfrac185,,tfrac95r)

Resposta

As duas propriedades são:
  1. A projeção é paralela a u.
  2. A diferença v-projuv é ortogonal a u.
E
projuv =l(tfrac185,,tfrac95r)

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