Identifique a cônica 4 x^2=9 y^2+36, isto é, diga se é parábola, hipérbole ou elipse justificando sua resposta.
Existe um ponto dessa cônica que tenha abcissa igual a 1?

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
4x^2=9y^2+36
e pede que a classifiquemos em parábola, elipse ou hipérbole, justificando. Depois pergunta se existe ponto da curva com abscissa 1. Para classificar cônicas sem termo xy, usamos o discriminante B^2-4AC da forma geral
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

Passo 2

Escrevendo em forma geral temos
4x^2-9y^2-36=0,
logo A=4, B=0, C=-9. Calculamos o discriminante:
B^2-4AC = 0^2 - 4cdot 4 cdot (-9) = 144 > 0

Passo 3

Como B^2-4AC>0, a cônica é uma hipérbole. Para ver a forma canônica, dividimos ambos os lados de
4x^2-9y^2=36
por 36, ficando
x^29 ;-;y^24=1,
hipérbole centrada na origem com eixos alinhados aos eixos coordenados.

Passo 4

Para saber se há ponto com abscissa 1, basta pôr x=1 na equação original:
4cdot1^2=9y^2+36 Longrightarrow 4=9y^2+36 Longrightarrow 9y^2=-32 Longrightarrow y^2=-tfrac329

Passo 5

Como y^2=-tfrac329<0 não há solução real para y. Logo, não existe ponto da hipérbole cuja abscissa seja 1.

Resposta

A cônica é uma hipérbole, e não existe ponto nela com abscissa igual a 1.

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