Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova (completa) por contradição:
\sqrt[3]{3} não é racional. (Dica: exercício anterior)

Passo 1

O enunciado nos pede para provar, por contradição, que \sqrt[3]{3} não é um número racional. Vamos primeiro escrever com quantificadores e domínios a proposição “ \sqrt[3]{3} não é racional” e depois construir a prova.

Passo 2

A proposição que queremos demonstrar pode ser escrita formalmente como
\neg \exists p,q \in \mathbb{Z},\; q \neq 0 : \left(\frac{p}{q}\right)^3 = 3.

Passo 3

Suponha, por contradição, que exista p,q \in \mathbb{Z} com q\neq 0 tais que
\left(\frac{p}{q}\right)^3 = 3.
Podemos também supor, sem perda de generalidade, que a fração \tfrac{p}{q} está na forma irredutível, ou seja, \gcd(p,q)=1. Da igualdade acima segue
\frac{p^3}{q^3}=3 \quad\Longrightarrow\quad p^3 = 3\,q^3.

Passo 4

Da última equação, 3 divide p^3. Como 3 é primo, isto implica que 3 divide p. Logo existe k\in\mathbb{Z} tal que p=3k. Substituindo em p^3 = 3q^3 obtemos
(3k)^3 = 27k^3 = 3\,q^3 \quad\Longrightarrow\quad 9k^3 = q^3.
Assim 3 divide q^3 e, pelo mesmo argumento, divide q.

Passo 5

Chegamos a concluir que 3 divide simultaneamente p e q, isto é, \gcd(p,q)\ge3, o que contradiz a hipótese de que \gcd(p,q)=1. Dessa contradição segue que a suposição inicial era falsa.

Resposta

A proposição formal
\neg \exists p,q \in \mathbb{Z},\; q\neq 0 : \Bigl(\tfrac{p}{q}\Bigr)^3 = 3
é verdadeira. Portanto \sqrt[3]{3} não é racional.

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