Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova (completa) por contradição:
não é racional. (Dica: exercício anterior)
Passo 1
O enunciado nos pede para provar, por contradição, que
não é um número racional. Vamos primeiro escrever com quantificadores e domínios a proposição “
não é racional” e depois construir a prova.
Passo 2
A proposição que queremos demonstrar pode ser escrita formalmente como
Passo 3
Suponha, por contradição, que exista
com
tais que
Podemos também supor, sem perda de generalidade, que a fração
está na forma irredutível, ou seja,
. Da igualdade acima segue
Passo 4
Da última equação,
divide
. Como
é primo, isto implica que
divide
. Logo existe
tal que
. Substituindo em
obtemos
Assim
divide
e, pelo mesmo argumento, divide
.
Passo 5
Chegamos a concluir que
divide simultaneamente
e
, isto é,
, o que contradiz a hipótese de que
. Dessa contradição segue que a suposição inicial era falsa.
Resposta
A proposição formal
é verdadeira. Portanto
não é racional.