4. Limites

  • Calcule: lim x 2 x^2-2 x+2x^2-4
  • Calcule: lim x 2 raizx^2-4x-2
  • Calcule: lim x 3 2 x-1x^2-9
  • Calcule: lim x 0 sin (3 x)x
  • Calcule: lim x 0 cos (x)-1x^2
  • Calcule: lim x +infty(1+1x)^x
  • Calcule: lim x -1 x^3-2 x^2-x+2x^3+2 x^2-x-2
  • Calcule: lim x +infty x-3raizx^2-2 x+1
  • Calcule: lim x -infty x^2-2 x+3x^3-4 x^2+x-2
  • Calcule: lim x -infty 3-x^4x^3-3
  • Calcule: lim x 1 x-1x-1
  • Calcule: lim x +infty x cdot sin (1x)
  • Calcule: lim x 0 x^2 cdot cos (e^1x)
  • Calcule: lim x +infty xx^2+3 x+1
  • Calcule: lim x 0 sin (5 x)3 x
  • Calcule: lim x +infty(1+2x)^x
  • Calcule: lim x 0 e^4 x-1x
  • Calcule: lim x 3 x^2-9x-3
  • Calcule: lim x +infty 2 x^2+53 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de vários limites que envolvem técnicas como substituição direta, fatoração de polinômios, limites trigonométricos fundamentais, limites exponenciais clássicos e análise de comportamento em infinito. Vamos agrupar os cálculos por técnica:
1. Limites que usam fatoração e análise de zero no denominador
2. Limites trigonométricos e de funções exponenciais em torno de zero
3. Limites do tipo l(1+tfracaxr)^x
4. Limites com cancelamento de fator comum em ponto finito
5. Limites de funções racionais em xtopminfty
6. Limites de produto de função oscilante e fator que vai a zero

Passo 2

(Questões 1, 2 e 3)
Quando o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a valor finito não nulo, o quociente diverge a pminfty.
1) limxto2x^2-2x+2x^2-4.
Denomínio: x^2-4=(x-2)(x+2)to0, numerador to2. Logo não há limite finito (diverge a pminfty).
2) limxto2raizx^2-4x-2.
Para x>2, raizx^2-4=raiz(x-2)(x+2), o quociente é tfracraizx+2raizx-2to+infty.
3) limxto32x-1x^2-9.
x^2-9=(x-3)(x+3)to0, numerador to5. Diverge a pminfty, logo não existe limite finito.

Passo 3

(Questões 4, 5, 15 e 17)
Usamos limites elementares em xto0 e a derivada de e^kx em zero.
4) limxto0sin(3x)x =3limxto0sin(3x)3x=3 5) limxto0cos(x)-1x^2 =-tfrac12, pois cos x=1-tfracx^22+o(x^2).
15) limxto0sin(5x)3x =53.
17) limxto0e^4x-1x =4, usando tfrace^4x-1xto4.

Passo 4

(Questões 6 e 16)
Limites do tipo l(1+tfracaxr)^xto e^a quando xto+infty.
6) limxto+inftyl(1+1xr)^x=e 16) limxto+inftyl(1+2xr)^x =l(e^2r)=e^2

Passo 5

(Questões 7, 11 e 18)
Cancelamos fator comum em ponto finito.
7) limxto-1x^3-2x^2-x+2x^3+2x^2-x-2 =limxto-1(x-2)(x^2-1)(x+2)(x^2-1) =-1-2-1+2=-3 11) limxto1x-1x-1=1.
18) limxto3x^2-9x-3 =limxto3(x-3)(x+3)x-3=6

Passo 6

(Questões 8, 9, 10, 14 e 20)
Para xtopminfty, comparamos os maiores graus de x.
8) limxto+inftyx-3raizx^2-2x+1 =limxto+inftyx-3|x-1|=1 9) limxto-inftyx^2-2x+3x^3-4x^2+x-2 simx^2x^3=0 10) limxto-infty3-x^4x^3-3 sim-x^4x^3=-xto+infty 14) limxto+inftyxx^2+3x+1 simxx^2=0 20) limxto+infty2x^2+53x^2-1 sim23

Passo 7

(Questões 12 e 13)
Produto de função oscilante limitada por [-1,1] e fator que tende a zero.
12) limxto+inftyxsin!l(tfrac1xr) =limxto+inftysin(1/x)1/x=1 13) limxto0x^2cos!l(e^1/xr).
Aqui cos(e^1/x) está limitado em [-1,1] e x^2to0, logo o produto vai a 0.

Resposta

1) Não existe (diverge).
2) +infty.
3) Não existe (diverge).
4) 3.
5) -tfrac12.
6) e.
7) -3.
8) 1.
9) 0.
10) +infty.
11) 1.
12) 1.
13) 0.
14) 0.
15) tfrac53.
16) e^2.
17) 4.
18) 6.
19) (sin 5x)/( 3x) to tfrac53 — já no item 15.
20) tfrac23.

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