Um ponto P=(x, y, z) se move em torno do eixo- z mantendo uma distância constante a>0 desse eixo. Simultaneamente, ele se move paralelamente ao eixo- z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b neq 0. A curva descrita por esse ponto é chamada hélice circular. Determine uma parametrização para a hélice circular descrita com parâmetro sendo o angulo de rotação.

Passo 1

O enunciado nos diz que o ponto P=(x,y,z) descreve uma curva helicoidal: sua projeção no plano xy é um círculo de raio constante a em torno do eixo z, e simultaneamente sua altura z cresce (ou decresce) de modo proporcional ao ângulo de rotação, com constante de proporcionalidade b. Para parametrizar, basta usar o próprio ângulo de rotação theta como parâmetro.

Passo 2

Para a parte circular no plano xy, lembramos da parametrização em coordenadas polares:
x(theta)=acostheta,
y(theta)=asintheta

Passo 3

Como a componente z é proporcional ao ângulo theta pela constante b, definimos
z(theta)=b,theta

Resposta

r(theta)=l(acostheta,;asintheta,;b,thetar), thetainR

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