Enuncie e prove a Regra de LHopital. Além disso, forneça um exemplo e um contra-exemplo.

Passo 1

O enunciado pede para enunciar e provar a Regra de L’Hopital, usando conceitos de limites e derivadas, e depois dar um exemplo de aplica\c{c}~ao correta e um contra-exemplo que mostre a falha quando as hip’oteses n~ao valem. Para provar vamos precisar do Teorema de Cauchy (ou Teorema do Valor Medio Generalizado).

Passo 2

Enunciado da Regra de L’Hopital (caso 0/0):
Sejam f e g fun\c{c}~oes deriv’aveis em (a,b), com g'(x)neq0 para todo xin(a,b). Suponha que
limxto a^+f(x)=0, limxto a^+g(x)=0
e que exista
limxto a^+f'(x)g'(x) = LinRcuppminfty
Ent~ao
limxto a^+f(x)g(x) = L

Passo 3

Prova usando o Teorema de Cauchy:
Para xin(a,b), aplique Cauchy a f e g no intervalo [x,a+de<a] (com x>a bem próximo de a), obtendo um ponto cin(x,a+de<a) tal que
f(x)-f(a+de<a)g(x)-g(a+de<a) = f'(c)g'(c)
Como f(a+de<a)to0 e g(a+de<a)to0 quando de<ato0, para x próximo de a temos
f(x)g(x) = f'(c)g'(c)
À medida que xto a^+, o ponto cto a^+ e, pela hipótese, tfracf'(c)g'(c)to L. Logo
limxto a^+f(x)g(x)=L,
que é exatamente a afirmação da regra.

Passo 4

Exemplo de aplicação correta (forma 0/0):
Calcular limxto0sin xx.
Aqui sin xto0 e xto0, e
ddx(sin x)=cos x, ddx(x)=1,
então
limxto0sin xx = limxto0cos x1 = cos0 = 1

Passo 5

Contra-exemplo (uso indevido quando n~ao h’a forma 0/0):
Considere
limxto0xx+1.
Aqui xto0 e x+1to1neq0, logo a forma 'e 0/1, j’a vale
limxto0xx+1=0
Se alguém aplicasse L’Hopital sem aten\c{c}~ao e fizesse
ddx(x)=1, ddx(x+1)=1,
obteria erroneamente lim1/1=1. Isso mostra que a regra s’o vale na forma indeterminada 0/0 (ou infty/infty).

Resposta

Enunciamos e provamos a Regra de L’Hopital usando o Teorema de Cauchy; no exemplo limxto0sin x/x=1 a aplica\c{c}~ao 'e v’alida; no contra-exemplo limxto0x/(x+1) fica claro que, fora da forma 0/0, L’Hopital leva a erro.

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