Enuncie e prove a Regra de LHopital. Além disso, forneça um exemplo e um contra-exemplo.
Passo 1
O enunciado pede para enunciar e provar a Regra de L’Hopital, usando conceitos de limites e derivadas, e depois dar um exemplo de aplica\c{c}~ao correta e um contra-exemplo que mostre a falha quando as hip’oteses n~ao valem. Para provar vamos precisar do Teorema de Cauchy (ou Teorema do Valor Medio Generalizado).
Passo 2
Enunciado da Regra de L’Hopital (caso
):
Sejam
e
fun\c{c}~oes deriv’aveis em
, com
para todo
. Suponha que
e que exista
Ent~ao
Passo 3
Prova usando o Teorema de Cauchy:
Para
, aplique Cauchy a
e
no intervalo
(com
bem próximo de
), obtendo um ponto
tal que
Como
e
quando
, para
próximo de
temos
À medida que
, o ponto
e, pela hipótese,
. Logo
que é exatamente a afirmação da regra.
Passo 4
Exemplo de aplicação correta (forma
):
Calcular
.
Aqui e
, e
Aqui
então
Passo 5
Contra-exemplo (uso indevido quando n~ao h’a forma
):
Considere
.
Aqui e
, logo a forma 'e
, j’a vale
Aqui
Se alguém aplicasse L’Hopital sem aten\c{c}~ao e fizesse
obteria erroneamente
. Isso mostra que a regra s’o vale na forma indeterminada
(ou
).
Resposta
Enunciamos e provamos a Regra de L’Hopital usando o Teorema de Cauchy; no exemplo
a aplica\c{c}~ao 'e v’alida; no contra-exemplo
fica claro que, fora da forma
, L’Hopital leva a erro.