Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo é Análise de Funções: vamos determinar domínio, assíntotas (verticais e oblíquas), interceptos, monotonicidade (via derivada) e usar tudo isso para desenhar qualitativamente o gráfico.
Passo 2
Domínio: a fração
só falha quando
, ou seja
. Logo
Passo 3
Limites e assíntotas:
e portanto
Isto mostra que existe assíntota oblíqua
denominador
denominador
Isso confirma a assíntota vertical
, com saltos de
para
.
Passo 4
Interceptos:
- Intercepto em
: em
- Intercepto em
: resolver
Por tentativa numérica encontra-se uma única raiz em
, aproximadamente
Passo 5
Monotonicidade:
Calcula-se
Como
para todo
,
é estritamente crescente em cada ramo do domínio.
Passo 6
Esboço qualitativo:
- Há assíntota vertical em
e oblíqua . - Para
e , aproxima-se dessa reta oblíqua. - À esquerda de
a curva sobe, passa de reta oblíqua no infinito até o limite junto à vertical. - À direita de
volta de , cruza em e passa em no eixo , seguindo crescente para cima e para a direita.
Resposta
O gráfico de
tem
domínio ,
assíntota vertical
,
assíntota oblíqua
,
interceptos em
em
e em
em
,
é estritamente crescente em cada ramo.
O esboço mostra duas curvas assimptóticas unidas a essas condições, conforme descrito acima.
O esboço mostra duas curvas assimptóticas unidas a essas condições, conforme descrito acima.