Esboce o gráfico da função
f(x)=arctan (x+12 x+3)+2 x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=arctan!l(tfracx+12x+3r)+2x
O conteúdo é Análise de Funções: vamos determinar domínio, assíntotas (verticais e oblíquas), interceptos, monotonicidade (via derivada) e usar tudo isso para desenhar qualitativamente o gráfico.

Passo 2

Domínio: a fração só falha quando , ou seja . Logo

Passo 3

Limites e assíntotas:
1. Para xtopminfty:
x+12x+3totfrac12 Longrightarrow arctanl(tfracx+12x+3r)toarctan!l(tfrac12r)
e portanto
f(x)=2x+arctan!l(tfrac12r)+o(1)
Isto mostra que existe assíntota oblíqua
y=2x+arctan!l(tfrac12r)
2. Para xto-tfrac32^-:
denominador 2x+3to0^-, numerador x+1to-0.5, razão to+infty, logo
arctanto+tfracpi2 Longrightarrow f(x)totfracpi2+2l(-tfrac32r)=tfracpi2-3
3. Para xto-tfrac32^+:
denominador to0^+, numerador to-0.5, razão to-infty, logo
arctanto-tfracpi2 Longrightarrow f(x)to-tfracpi2-3
Isso confirma a assíntota vertical x=-tfrac32, com saltos de tfracpi2-3 para -tfracpi2-3.

Passo 4

Interceptos:
  • Intercepto em y: em x=0
f(0)=arctanl(tfrac13r)approx0,322
  • Intercepto em x: resolver
arctan!l(tfracx+12x+3r)+2x=0
Por tentativa numérica encontra-se uma única raiz em -tfrac32<x<infty, aproximadamente
xapprox -0,15

Passo 5

Monotonicidade:
f'(x) = d d xarctan(u)+2 com u=x+12x+3
Calcula-se
u'=(2x+3)-2(x+1)(2x+3)^2 =1(2x+3)^2,
f'(x) =u'1+u^2+2 =1(2x+3)^2l(1+(x+12x+3)^2r)+2 =1(x+1)^2+(2x+3)^2+2>0
Como f'(x)>0 para todo xneq -tfrac32, f é estritamente crescente em cada ramo do domínio.

Passo 6

Esboço qualitativo:
  • Há assíntota vertical em x=-tfrac32 e oblíqua y=2x+arctan(tfrac12).
  • Para xto-infty e xto+infty, f(x) aproxima-se dessa reta oblíqua.
  • À esquerda de -tfrac32 a curva sobe, passa de reta oblíqua no infinito até o limite y=tfracpi2-3 junto à vertical.
  • À direita de -tfrac32 volta de y=-tfracpi2-3, cruza em xapprox-0,15 e passa em yapprox0,322 no eixo y, seguindo crescente para cima e para a direita.

Resposta

O gráfico de tem
domínio ,
assíntota vertical ,
assíntota oblíqua ,
interceptos em em e em em ,
é estritamente crescente em cada ramo.
O esboço mostra duas curvas assimptóticas unidas a essas condições, conforme descrito acima.

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