Num sólido existem dois ramos de dispersão dos fonōes: um ramo óptico de frequência constante \omega_{\text {opt }}(\vec{k})=\omega_{0} e um ramo acústico dado por \omega_{a c}(\vec{k})=v_{s}|\vec{k}|.
(a) Qual o significado físico de v_{s} ?
(b) Obtenha a contribuiçāo do ramo-óptico para o calor específico. Como se comporta a baixas temperaturas?
(c) Obtenha a contribuição do ramo acústico para o calor específico.
Como se comporta a baixas temperaturas?
O que significa a temperatura ser “baixa”?

Passo 1

O enunciado trata de um sólido em que os fônons têm dois ramos de dispersão:
– ramo óptico com frequência constante \omega_{\rm opt}(\vec k)=\omega_{0},
– ramo acústico com \omega_{\rm ac}(\vec k)=v_{s}|\vec k|.
As tarefas são:
(a) interpretar fisicamente v_{s};
(b) calcular a contribuição do ramo óptico ao calor específico c_{v} e estudar seu comportamento a baixas temperaturas;
(c) calcular a contribuição do ramo acústico ao calor específico e estudar seu comportamento a baixas temperaturas.
Para isso vamos usar estatística de Bose–Einstein, densidade de estados e modelos de Einstein (óptico) e Debye (acústico).

Passo 2

O parâmetro v_{s} aparece na dispersão acústica \omega_{\rm ac}=v_{s}|\vec k|. Ele é precisamente a velocidade de fase e de grupo dos fônons de baixa energia, ou seja, a velocidade do som no sólido, pois para |\vec k|\to0 esses fônons correspondem a ondas elásticas longas.

Passo 3

No ramo óptico todas as vibrações têm \omega=\omega_{0}. A densidade de modos é
g_{\rm opt}(\omega)=N\,\delta(\omega-\omega_{0}),
onde N é o número total de modos ópticos. A energia interna é
U_{\rm opt} =\int_{0}^{\infty}g_{\rm opt}(\omega)\,\frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/(k_{B}T)}-1}\,d\omega =\frac{N\hbar\omega_{0}}{e^{\hbar\omega_{0}/(k_{B}T)}-1}.
Diferenciando em T obtém-se
c_{v,{\rm opt}} =\frac{\partial U_{\rm opt}}{\partial T} =N k_{B}\Bigl(\frac{\hbar\omega_{0}}{k_{B}T}\Bigr)^{2} \frac{e^{\hbar\omega_{0}/(k_{B}T)}}{\bigl(e^{\hbar\omega_{0}/(k_{B}T)}-1\bigr)^{2}}.
A baixas temperaturas k_{B}T\ll\hbar\omega_{0} temos e^{\hbar\omega_{0}/(k_{B}T)}\gg1 e, logo,
c_{v,{\rm opt}}\sim N k_{B}\Bigl(\frac{\hbar\omega_{0}}{k_{B}T}\Bigr)^{2} e^{-\hbar\omega_{0}/(k_{B}T)},
isto é, decaimento exponencial quando T\to0.

Passo 4

No ramo acústico a densidade de estados em três dimensões para um único modo polarizado é
g_{\rm ac}(\omega)=\frac{V}{2\pi^{2}v_{s}^{3}}\,\omega^{2},
com V o volume. A energia interna é
U_{\rm ac} =\int_{0}^{\omega_{D}}g_{\rm ac}(\omega)\, \frac{\hbar\omega}{e^{\hbar\omega/(k_{B}T)}-1}\,d\omega,
onde \omega_{D} é o corte de Debye (definido por \int_{0}^{\omega_{D}}g_{\rm ac}(\omega)\,d\omega=N). Para T\ll\Theta_{D}=\hbar\omega_{D}/k_{B} pode-se estender o integral a \infty. Fazendo x=\hbar\omega/(k_{B}T) e usando \int_{0}^{\infty}x^{3}/(e^{x}-1)\,dx=\pi^{4}/15, chega-se a
U_{\rm ac}=\frac{\pi^{2}V}{30}\frac{(k_{B}T)^{4}}{\hbar^{3}v_{s}^{3}}, \qquad c_{v,{\rm ac}}=\frac{\partial U_{\rm ac}}{\partial T} =\frac{2\pi^{2}V}{15}\frac{k_{B}^{4}T^{3}}{\hbar^{3}v_{s}^{3}}.
Assim, a contribuição acústica cresce como T^{3} a baixas temperaturas.

Resposta

(a) v_{s} é a velocidade do som no sólido, i.e.\ a velocidade de propagação dos fônons acústicos de baixa energia.
(b) Ramo óptico (modelo de Einstein):
c_{v,{\rm opt}} =N k_{B}\Bigl(\frac{\hbar\omega_{0}}{k_{B}T}\Bigr)^{2} \frac{e^{\hbar\omega_{0}/(k_{B}T)}}{\bigl(e^{\hbar\omega_{0}/(k_{B}T)}-1\bigr)^{2}} \sim N k_{B}\Bigl(\tfrac{\hbar\omega_{0}}{k_{B}T}\Bigr)^{2} e^{-\hbar\omega_{0}/(k_{B}T)}\quad(T\to0).
(c) Ramo acústico (modelo de Debye):
c_{v,{\rm ac}} =\frac{2\pi^{2}V}{15}\frac{k_{B}^{4}}{\hbar^{3}v_{s}^{3}}\,T^{3} \quad(T\ll\Theta_{D}),
ou seja, c_{v,{\rm ac}}\propto T^{3}.
Temperatura “baixa” significa k_{B}T\ll\hbar\omega_{0} (para ramo óptico) e T\ll\Theta_{D}=\hbar\omega_{D}/k_{B} (para ramo acústico).

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