Num sólido existem dois ramos de dispersão dos fonōes: um ramo óptico de frequência constante
e um ramo acústico dado por
.
(a) Qual o significado físico de
?
(b) Obtenha a contribuiçāo do ramo-óptico para o calor específico. Como se comporta a baixas temperaturas?
(c) Obtenha a contribuição do ramo acústico para o calor específico.
Como se comporta a baixas temperaturas?
O que significa a temperatura ser “baixa”?
(a) Qual o significado físico de
(b) Obtenha a contribuiçāo do ramo-óptico para o calor específico. Como se comporta a baixas temperaturas?
(c) Obtenha a contribuição do ramo acústico para o calor específico.
O que significa a temperatura ser “baixa”?
Passo 1
O enunciado trata de um sólido em que os fônons têm dois ramos de dispersão:
– ramo óptico com frequência constante ,
– ramo acústico com .
As tarefas são:
(a) interpretar fisicamente ;
(b) calcular a contribuição do ramo óptico ao calor específico e estudar seu comportamento a baixas temperaturas;
(c) calcular a contribuição do ramo acústico ao calor específico e estudar seu comportamento a baixas temperaturas.
Para isso vamos usar estatística de Bose–Einstein, densidade de estados e modelos de Einstein (óptico) e Debye (acústico).
– ramo óptico com frequência constante
– ramo acústico com
As tarefas são:
(a) interpretar fisicamente
(b) calcular a contribuição do ramo óptico ao calor específico
(c) calcular a contribuição do ramo acústico ao calor específico e estudar seu comportamento a baixas temperaturas.
Para isso vamos usar estatística de Bose–Einstein, densidade de estados e modelos de Einstein (óptico) e Debye (acústico).
Passo 2
O parâmetro
aparece na dispersão acústica
. Ele é precisamente a velocidade de fase e de grupo dos fônons de baixa energia, ou seja, a velocidade do som no sólido, pois para
esses fônons correspondem a ondas elásticas longas.
Passo 3
No ramo óptico todas as vibrações têm
. A densidade de modos é
onde
é o número total de modos ópticos. A energia interna é
Diferenciando em
obtém-se
A baixas temperaturas
temos
e, logo,
isto é, decaimento exponencial quando
.
Passo 4
No ramo acústico a densidade de estados em três dimensões para um único modo polarizado é
com
o volume. A energia interna é
onde
é o corte de Debye (definido por
). Para
pode-se estender o integral a
. Fazendo
e usando
, chega-se a
Assim, a contribuição acústica cresce como
a baixas temperaturas.
Resposta
(a)
é a velocidade do som no sólido, i.e.\ a velocidade de propagação dos fônons acústicos de baixa energia.
(b) Ramo óptico (modelo de Einstein):
(b) Ramo óptico (modelo de Einstein):
(c) Ramo acústico (modelo de Debye):
ou seja,
.
Temperatura “baixa” significa (para ramo óptico) e
(para ramo acústico).
Temperatura “baixa” significa