(a) Enuncie o Teorema da Divergência
(b) Use o Teorema de Green para encontrar a integral
, sendo
o triângulo de vértices
e
, no sentido anti-horário.
(b) Use o Teorema de Green para encontrar a integral
Passo 1
O enunciado tem duas partes: (a) pedir para enunciar o Teorema da Divergência, que é um resultado de cálculo vetorial em 3D, e (b) usar o Teorema de Green (caso bidimensional do Teorema da Divergência) para calcular
, onde
é o triângulo de vértices
,
e
, percorrido no sentido anti-horário. Para resolver (b) vamos precisar conhecer a forma do Teorema de Green e saber parametrizar a região triangular.
Passo 2
O Teorema da Divergência em
diz o seguinte: seja
um sólido com fronteira suave
orientada pela normal externa
. Se
é um campo vetorial de classe
em
, então
Passo 3
Para a parte (b) usamos a forma bidimensional desse teorema, o Teorema de Green: se
é uma região simples com fronteira
orientada anti-horário e
é um campo contínuo com derivadas parciais contínuas, então
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais que entram em Green:
Logo o integrando é
Passo 5
A região
é o triângulo de vértices
,
e
. Podemos descrevê-la por
pois a reta entre
e
tem equação
. Assim a integral de área fica
Passo 6
Primeiro a integração em
:
Agora integramos em
:
Resposta
(a) Seja
um sólido com fronteira suave
orientada pela normal externa
. Para um campo vetorial
,
(b)