(a) Enuncie o Teorema da Divergência
(b) Use o Teorema de Green para encontrar a integral \oint_{C}\left(y^{2} d x+2 x^{2} d y\right), sendo C o triângulo de vértices A(0,0), B(1,2) e C(0,2), no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado tem duas partes: (a) pedir para enunciar o Teorema da Divergência, que é um resultado de cálculo vetorial em 3D, e (b) usar o Teorema de Green (caso bidimensional do Teorema da Divergência) para calcular
\displaystyle \oint_{C}\bigl(y^{2}\,dx + 2x^{2}\,dy\bigr), onde C é o triângulo de vértices A(0,0), B(1,2) e C(0,2), percorrido no sentido anti-horário. Para resolver (b) vamos precisar conhecer a forma do Teorema de Green e saber parametrizar a região triangular.

Passo 2

O Teorema da Divergência em \mathbb{R}^3 diz o seguinte: seja V\subset\mathbb{R}^3 um sólido com fronteira suave \partial V orientada pela normal externa \mathbf{n}. Se \mathbf{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) é um campo vetorial de classe C^1 em V, então
\iiint_{V} \bigl(\nabla\cdot \mathbf{F}\bigr)\,dV \;=\; \iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS.

Passo 3

Para a parte (b) usamos a forma bidimensional desse teorema, o Teorema de Green: se D\subset\mathbb{R}^2 é uma região simples com fronteira C=\partial D orientada anti-horário e \mathbf{F}=(P,Q) é um campo contínuo com derivadas parciais contínuas, então
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy \;=\; \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
No nosso caso, P(y,x)=y^{2} e Q(x,y)=2x^{2}.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais que entram em Green:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2})=4x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
Logo o integrando é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =4x \;-\;2y.

Passo 5

A região D é o triângulo de vértices (0,0), (1,2) e (0,2). Podemos descrevê-la por
0\le y\le 2, \quad 0\le x\le \frac{y}{2},
pois a reta entre (0,0) e (1,2) tem equação y=2x. Assim a integral de área fica
\iint_{D}(4x-2y)\,dA = \int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{y/2}\bigl(4x-2y\bigr)\,dx\,dy.

Passo 6

Primeiro a integração em x:
\int_{0}^{y/2}(4x-2y)\,dx = \Bigl[2x^{2}-2yx\Bigr]_{0}^{y/2} = \bigl(2\,(y/2)^{2}-2y\,(y/2)\bigr) = \frac{y^{2}}{2}-y^{2} = -\frac{y^{2}}{2}.
Agora integramos em y:
\int_{0}^{2}\!-\frac{y^{2}}{2}\,dy = -\frac{1}{2}\,\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} = -\frac{1}{2}\,\frac{8}{3} = -\frac{4}{3}.

Resposta

(a) Seja V\subset\mathbb{R}^3 um sólido com fronteira suave \partial V orientada pela normal externa \mathbf{n}. Para um campo vetorial \mathbf{F}\in C^1(V),
\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV = \iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS.
(b)
\oint_{C}\bigl(y^{2}\,dx + 2x^{2}\,dy\bigr) = -\frac{4}{3}.

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