(a) Enuncie o Teorema de Stokes.
(b) Use o Teorema de Stokes para encontrar a integral
, sendo
o triângulo de vértices
e
, no sentido anti-horário.
(b) Use o Teorema de Stokes para encontrar a integral
Passo 1
O enunciado pede em (a) que a gente enuncie o Teorema de Stokes e em (b) use esse teorema para calcular
, onde
é o triângulo de vértices
,
,
no sentido anti-horário. O conteúdo principal é cálculo vetorial: enunciar o Teorema de Stokes e aplicar sua forma plana (Teorema de Green) para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região triangular.
Passo 2
Enunciado geral do Teorema de Stokes: seja
uma superfície orientada com borda
e
um campo vetorial suave, então
No caso planar,
é uma região do plano
e
é seu contorno, reduzindo-se ao Teorema de Green:
Passo 3
Identificamos o campo vetorial no plano como
com
com
Passo 4
Calculamos o rotacional de
:
Pela forma plana (Green),
Passo 5
A região
é o triângulo com vértices
,
,
. Para cada
em
,
varia de
até a reta que une
a
, dada por
. Logo,
Passo 6
Montamos a integral dupla:
Primeiro, a integral interna:
Em seguida,
Passo 7
Como o sentido é anti-horário (orientação positiva), não há troca de sinal extra. Logo,
Resposta
(a) Seja
uma superfície orientada com fronteira
e
um campo vetorial suave. O Teorema de Stokes afirma:
No caso planar, isso se reduz ao Teorema de Green:
(b)
.