Sejam f(x)=2-3 x, x in[-1,5) e g(x)=5-x-x^2, x in(1,10). Encontrar
f circ g

Passo 1

O enunciado pede a função composta fcirc g, onde
f(x)=2-3x, xin[-1,5),
g(x)=5-x-x^2, xin(1,10)
O conteúdo é composição de funções, e precisamos (i) obter a expressão f(g(x)) e (ii) determinar seu domínio, isto é, os x tais que x está no domínio de g e g(x) está no domínio de f.

Passo 2

Calcular a expressão de f(g(x)):
f(g(x))=2-3,g(x)=2-3l(5-x-x^2r) =2-15+3x+3x^2 =3x^2+3x-13

Passo 3

Determinar o domínio de fcirc g. Precisamos
xin(1,10) e g(x)in[-1,5)

Passo 4

Resolver g(x)>= -1:
5 - x - x^2 >= -1 ;Long<=ftrightarrow; 6 - x - x^2 >= 0 ;Long<=ftrightarrow; x^2 + x - 6 <= 0
As raízes de x^2 + x -6=0 são x=-3 e x=2, logo
-3 <= x <= 2

Passo 5

Resolver g(x)<5:
5 - x - x^2 < 5 ;Long<=ftrightarrow; -x - x^2 < 0 ;Long<=ftrightarrow; x(1+x)>0 ;Long<=ftrightarrow; x>-1 e xneq 0,
isto é, para nosso interesse em (1,10) vale para todo x>1.

Passo 6

Fazendo a interseção
xin(1,10);cap;[-3,2] ;=;(1,2]
Portanto o domínio de fcirc g é (1,2].

Resposta

(fcirc g)(x)=3x^2+3x-13, xin(1,2]

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