Enuncie o Teorema de Fubini e Mudança da Ordem de Integração.

Passo 1

O enunciado pede que apresentemos duas ferramentas do cálculo de integrais múltiplas: o Teorema de Fubini (que relaciona integral dupla e integrais iteradas) e o Teorema da Mudança de Ordem de Integração (que especifica como trocar as ordens de integração num domínio planar).

Passo 2

Enunciado do Teorema de Fubini (versão de integrabilidade absoluta)
Seja f\colon A\times B\to\mathbb{R} mensurável, onde A\subset\mathbb{R}^m e B\subset\mathbb{R}^n são conjuntos mensuráveis, e suponha
\int_{A\times B}\bigl|f(x,y)\bigr|\,d(x,y)<\infty.
Então, para quase todo x\in A a função y\mapsto f(x,y) é integrável em B, e para quase todo y\in B a função x\mapsto f(x,y) é integrável em A, além de
\int_{A\times B}f(x,y)\,d(x,y) =\int_A\Bigl(\int_B f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx =\int_B\Bigl(\int_A f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy.

Passo 3

Enunciado do Teorema da Mudança de Ordem de Integração (domínio tipo I e II em \mathbb{R}^2)
Suponha que D\subset\mathbb{R}^2 seja um domínio descrito de duas formas equivalentes:
  1. Domínio tipo I:
D=\bigl\{(x,y)\mid a\le x\le b,\;g_1(x)\le y\le g_2(x)\bigr\};
  1. Domínio tipo II:
D=\bigl\{(x,y)\mid c\le y\le d,\;h_1(y)\le x\le h_2(y)\bigr\}.
Se f é integrável em D, então
\iint_D f(x,y)\,dx\,dy =\int_{x=a}^{b}\Bigl(\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx =\int_{y=c}^{d}\Bigl(\int_{x=h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy.

Resposta

Teorema de Fubini:
Seja f\colon A\times B\to\mathbb{R} mensurável com
\int_{A\times B}\bigl|f(x,y)\bigr|\,d(x,y)<\infty.
Então
\int_{A\times B}f(x,y)\,d(x,y) =\int_A\Bigl(\int_B f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx =\int_B\Bigl(\int_A f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy.
Teorema da Mudança de Ordem de Integração:
Se D\subset\mathbb{R}^2 é dado por
D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\;g_1(x)\le y\le g_2(x)\} =\{(x,y)\mid c\le y\le d,\;h_1(y)\le x\le h_2(y)\},
e f é integrável em D, então
\iint_D f(x,y)\,dx\,dy =\int_{x=a}^{b}\Bigl(\int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\Bigr)\,dx =\int_{y=c}^{d}\Bigl(\int_{x=h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\Bigr)\,dy.

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