\int \operatorname{sen}^{2} x cos ^{3} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^2 x \,\cos^3 x\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de função trigonométrica usando identidade de Pitágoras e substituição simples.

Passo 2

Observe que \cos^3 x = \cos^2 x\cdot\cos x e use a identidade \cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x. Assim,
\operatorname{sen}^2 x \,\cos^3 x = \operatorname{sen}^2 x\,(1 - \operatorname{sen}^2 x)\,\cos x.

Passo 3

Faça a substituição u = \operatorname{sen} x. Então du = \cos x\,dx. A integral vira
\int \operatorname{sen}^2 x\,(1 - \operatorname{sen}^2 x)\,\cos x\,dx = \int u^2(1 - u^2)\,du.

Passo 4

Expanda o integrando e integre termo a termo:
\int u^2(1 - u^2)\,du = \int \bigl(u^2 - u^4\bigr)\,du = \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C.

Passo 5

Substitua de volta u = \operatorname{sen} x. A solução final é
\frac{\operatorname{sen}^3 x}{3} \;-\;\frac{\operatorname{sen}^5 x}{5} + C.

Resposta

\int \operatorname{sen}^2 x \,\cos^3 x\,dx = \frac{\operatorname{sen}^3 x}{3} - \frac{\operatorname{sen}^5 x}{5} + C.

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