(2.0) Enuncie o Teorema de Rolle e use-o para verificar que a equação
3 x^5+5 x^3+15 x-2025=0
tem uma única solução real.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Rolle e mostrar que a equação
3x^5+5x^3+15x-2025=0
tem exatamente uma solução real. Vamos definir a função
f(x)=3x^5+5x^3+15x-2025,
usar o Teorema de Rolle para provar que não pode haver duas raízes distintas (unicidade) e depois garantir a existência de pelo menos uma raiz (teorema do valor intermediário).

Passo 2

O Teorema de Rolle afirma que, se uma função f é contínua em [a,b], derivável em (a,b) e satisfaz f(a)=f(b), então existe cin(a,b) tal que f'(c)=0.

Passo 3

Calculamos a derivada de
f(x)=3x^5+5x^3+15x-2025
como
f'(x)=15x^4+15x^2+15=15l(x^4+x^2+1r)
Note que x^4+x^2+1>0 para todo x, logo f'(x)>0 em R. Isso implica que f é estritamente crescente. Se existissem duas raízes x1<x2 com f(x1)=f(x2)=0, pelo Teorema de Rolle haveria cin(x1,x2) tal que f'(c)=0, contradição com f'(c)>0. Portanto, há no máximo uma raiz real.

Passo 4

Para mostrar que há pelo menos uma raiz real, observamos que
limxto -inftyf(x)=-infty e limxto +inftyf(x)=+infty
Como f é contínua (é um polinômio), pelo Teorema do Valor Intermediário existe x0inR tal que f(x0)=0.

Resposta

A equação
3x^5+5x^3+15x-2025=0
possui exatamente uma única solução real.

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