(2.0) Enuncie o Teorema de Rolle e use-o para verificar que a equação
tem uma única solução real.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema de Rolle e mostrar que a equação
tem exatamente uma solução real. Vamos definir a função
usar o Teorema de Rolle para provar que não pode haver duas raízes distintas (unicidade) e depois garantir a existência de pelo menos uma raiz (teorema do valor intermediário).
Passo 2
O Teorema de Rolle afirma que, se uma função
é contínua em
, derivável em
e satisfaz
, então existe
tal que
.
Passo 3
Calculamos a derivada de
como
Note que
para todo
, logo
em
. Isso implica que
é estritamente crescente. Se existissem duas raízes
com
, pelo Teorema de Rolle haveria
tal que
, contradição com
. Portanto, há no máximo uma raiz real.
Passo 4
Para mostrar que há pelo menos uma raiz real, observamos que
Como
é contínua (é um polinômio), pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
.
Resposta
A equação
possui exatamente uma única solução real.