Enuncie o Teorema do Valor Intermediário e utilize-o para mostrar que a função ln (x) é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado pede que apliquemos o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função ln(x), definida em (0,+infty), é sobrejetora em R. Vamos precisar de:
  1. definição de continuação de função em intervalo fechado,
  2. enunciado do Teorema do Valor Intermediário,
  3. definição de função sobrejetora (imagem igual ao contradomínio).

Passo 2

Enunciamos o Teorema do Valor Intermediário:
Seja f contínua em [a,b] Se L é um número entre f(a) e f(b), então existe cin[a,b] tal que f(c)=L íéúã

Passo 3

A função f(x)=ln(x) é contínua em (0,+infty). Além disso,
limxto0^+ln(x)=-infty, limxto+inftyln(x)=+infty
Logo, dado qualquer yinR, conseguimos achar a,b>0 tais que
ln(a)<y<ln(b)
Por exemplo, escolhendo a=e^,y-1 e b=e^,y+1 temos
ln(a)=y-1<y<y+1=ln(b).

Passo 4

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário a f(x)=ln(x) no intervalo [a,b], concluímos que existe cin[a,b]subset(0,+infty) com
ln(c)=y
Isso prova que, para cada yinR, existe c>0 tal que ln(c)=y.

Resposta

A função ln(x) é sobrejetora de (0,+infty) em R.

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