Enuncie o Teorema do Valor Intermediário e utilize-o para mostrar que a função
é sobrejetora.
Passo 1
O enunciado pede que apliquemos o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função
, definida em
, é sobrejetora em
. Vamos precisar de:
- definição de continuação de função em intervalo fechado,
- enunciado do Teorema do Valor Intermediário,
- definição de função sobrejetora (imagem igual ao contradomínio).
Passo 2
Enunciamos o Teorema do Valor Intermediário:
Passo 3
A função
é contínua em
. Além disso,
Logo, dado qualquer
, conseguimos achar
tais que
Por exemplo, escolhendo
e
temos
.
Passo 4
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário a
no intervalo
, concluímos que existe
com
Isso prova que, para cada
, existe
tal que
.
Resposta
A função
é sobrejetora de
em
.