Mostre que lim x 0^+ ln (x)=-infty, isto é, forall M>0 exists epsilon>0 tal que 0<x<epsilon Rightarrow ln (x)<-M.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto0^+ln(x)=-infty,
isto é, provar a definição:
forall M>0;exists epsilon>0;tal que;0<x<epsilon;Rightarrow;ln(x)<-M

Passo 2

Como a função ln é estritamente crescente em (0,infty), a desigualdade
ln(x)<-M
é equivalente a
x<e^-M
Portanto, basta escolher
epsilon=e^-M>0

Passo 3

Com epsilon=e^-M, sempre que 0<x<epsilon temos
x<e^-MLongrightarrowln(x)<lnl(e^-Mr)=-M
Isso mostra exatamente a condição da definição de limite para -infty.

Resposta

epsilon=e^-M.

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