Verifique que a expressĂŁo indicada Ă© uma solução implĂcita da equação diferencial dada. Encontre pelo menos uma solução explĂcita
em cada caso. Use um programa de criação de grĂĄficos para obter os grĂĄficos das soluçÔes explĂcitas. Encontre o intervalo de definição
de cada solução \varphi.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e afirma que a solução implícita é
O que precisamos fazer é:
- Verificar que, ao diferenciar essa relação implícita, obtemos exatamente
. - Despejar
para obter pelo menos uma forma explícita . - Determinar o(s) intervalo(s) de definição
onde essa solução faz sentido (isto é, onde o argumento do é positivo e o denominador na solução explícita não se anula). - Comentar como seria o gráfico de
em cada ramo.
Passo 2
Diferenciando a relação implícita
em ambos os lados, usando a regra da cadeia e a derivada de
, temos
Agora,
Logo,
Multiplicando em cruz, obtemos
que coincide com o lado direito da EDO. Assim, a relação implícita gera de fato a equação diferencial dada.
Passo 3
Para isolar
, exponenciamos a forma implícita:
Multiplicando ambos os lados por
:
Logo,
Passo 4
Precisamos garantir que o argumento do
é positivo, isto é,
Isso ocorre em dois casos:
(1) e
, ou seja
.
(2) e
, ou seja
.
(1)
(2)
Na solução explícita
, o denominador anula-se em
, isto é, em
.
– Para
temos
, então
. Nesse caso o numerador
muda de sinal em
, mas sempre gera
. Logo, no intervalo
a solução atende
.
– Para
temos
, então
e
, o que dá
. Logo, no intervalo
a solução fica em
.
Passo 5
Em resumo, a solução explícita unificada é
com dois ramos de definição:
Usando qualquer programa de gráficos (por exemplo GeoGebra ou Python/Matplotlib), você verá que
cresce estritamente, tem assimptota vertical em
e limites horizontais
,
.
Resposta
Solução explícita:
Intervalos de definição: