Verifique que a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial dada. Encontre pelo menos uma solução explícita y= phi(x) em cada caso. Use um programa de criação de gråficos para obter os gråficos das soluçÔes explícitas. Encontre o intervalo de definição I de cada solução \varphi.
d Xd t=(X-1)(1-2 X) ; ln (2 X-1X-1)=t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dXdt = (X-1),(1 - 2X)
e afirma que a solução implícita é
ln!l(2X-1X-1r) = t
O que precisamos fazer é:
  1. Verificar que, ao diferenciar essa relação implícita, obtemos exatamente tfracdXdt=(X-1)(1-2X).
  2. Despejar X para obter pelo menos uma forma explícita X=phi(t).
  3. Determinar o(s) intervalo(s) de definição I onde essa solução faz sentido (isto é, onde o argumento do ln é positivo e o denominador na solução explícita não se anula).
  4. Comentar como seria o gráfico de phi(t) em cada ramo.

Passo 2

Diferenciando a relação implícita
ln!l(tfrac2X-1X-1r)=t
em ambos os lados, usando a regra da cadeia e a derivada de ln, temos
ddtln!l(tfrac2X-1X-1r) = 1tfrac2X-1X-1 cdot ddt!l(tfrac2X-1X-1r) =1
Agora,
ddtl(tfrac2X-1X-1r) = (2,dot X),(X-1)-(2X-1),dot X(X-1)^2 = dot X,2(X-1)-(2X-1)(X-1)^2 = dot X,2X-2-2X+1(X-1)^2 = dot X,-1(X-1)^2
Logo,
1 = 1tfrac2X-1X-1;dot X,-1(X-1)^2 = dot X;-(X-1)(2X-1)(X-1)^2 = dot X;-1(2X-1)(X-1)
Multiplicando em cruz, obtemos
dot X = -(2X-1)(X-1) = (X-1)(1-2X),
que coincide com o lado direito da EDO. Assim, a relação implícita gera de fato a equação diferencial dada.

Passo 3

Para isolar X, exponenciamos a forma implícita:
2X-1X-1 = e^t
Multiplicando ambos os lados por (X-1):
2X - 1 = e^t,(X-1) Longrightarrow 2X - 1 = e^t,X - e^t Longrightarrow X,(2 - e^t) = 1 - e^t
Logo,
X(t) = 1 - e^t2 - e^t = e^t - 1e^t - 2

Passo 4

Precisamos garantir que o argumento do ln é positivo, isto é,
2X-1X-1 > 0
Isso ocorre em dois casos:
(1) 2X-1>0 e X-1>0, ou seja X>1.
(2) 2X-1<0 e X-1<0, ou seja X<tfrac12.
Na solução explícita ,X=(e^t-1)/(e^t-2), o denominador anula-se em e^t=2, isto é, em t=ln2.
– Para t<ln2 temos e^t<2, então e^t-2<0. Nesse caso o numerador e^t-1<1 muda de sinal em t=0, mas sempre gera X<tfrac12. Logo, no intervalo
I1 = (-infty,;ln2),
a solução atende X(t)in(-infty,tfrac12).
– Para t>ln2 temos e^t>2, então e^t-2>0 e e^t-1>0, o que dá X>1. Logo, no intervalo
I2 = (ln2,;+infty),
a solução fica em (1,+infty).

Passo 5

Em resumo, a solução explícita unificada é
phi(t) = e^t - 1e^t - 2,
com dois ramos de definição:
phicolon(-infty,ln2)tol(-infty,tfrac12r), phicolon(ln2,infty)to(1,infty)
Usando qualquer programa de gráficos (por exemplo GeoGebra ou Python/Matplotlib), você verá que phi(t) cresce estritamente, tem assimptota vertical em t=ln2 e limites horizontais
limtto-inftyphi(t)=tfrac12^-,
limtto+inftyphi(t)=1^+.

Resposta

Solução explícita:
phi(t) = e^t - 1e^t - 2
Intervalos de definição:
I1 = (-infty,ln2)com phi(t)<tfrac12, I2 = (ln2,infty)com phi(t)>1

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