Enuncie o Teorema do Valor Médio (TVM) e o Teorema de Bolzano.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: enunciar o Teorema do Valor Médio (TVM) e enunciar o Teorema de Bolzano. Vou listar o que vou dar:
- A afirmação formal de cada teorema (hipóteses e conclusão).
- Explicação do significado de cada hipótese (por que é necessária).
- Esboço de demonstração (passos essenciais) e exemplos simples para entender como aplicar cada teorema na prova.
Passo 2
Teorema de Bolzano — ideia e hipótese.
Intuição: se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos, então ela atinge o valor zero em algum ponto intermediário. Isso parece óbvio, mas precisa das hipóteses certas. As palavras importantes são:
Intuição: se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos, então ela atinge o valor zero em algum ponto intermediário. Isso parece óbvio, mas precisa das hipóteses certas. As palavras importantes são:
- “função contínua” significa que não há saltos; formalmente,
não tem descontinuidades em todo o intervalo considerado; - “muda de sinal” significa que os valores nos extremos têm produto negativo, isto é,
.
Passo 3
Teorema de Bolzano — enunciado formal e esboço de prova.
Enunciado formal: sejam e
contínua em
. Se
, então existe
tal que
.
Enunciado formal: sejam
Explicando cada parte:
- Continuidade em
: garante que toma todos os valores intermediários entre e . - Produto
: significa que e têm sinais diferentes (um positivo e outro negativo).
Esboço da demonstração (método da bisseção, simples e útil na prova):
- Como
e têm sinais opostos, pegue o ponto médio e avalie . - Se
acabamos. Se não, escolhe-se o subintervalo ou em que os valores nas extremidades têm sinais opostos (o produto continua negativo). - Repetindo a bisseção obtem-se uma sequência de intervalos
com comprimento e tal que . - Pelo teorema da convergência de Cauchy ou pelo fato de intervalos aninhados, existe um ponto
comum a todos os intervalos; pela continuidade de , .
Observação útil: Bolzano garante existência, não garante unicidade do zero (a função pode cruzar o eixo várias vezes).
Exemplo prático: Para
, temos
e
; como
e
é polinomial (logo contínua), existe
com
.
Passo 4
Teorema do Valor Médio (TVM) — ideia e hipóteses.
Intuição: em algum ponto entre e
, a derivada (reta tangente) é igual à inclinação da reta secante que liga
a
. Hipóteses necessárias:
Intuição: em algum ponto entre
-
contínua em ; -
diferenciável em .
Estas hipóteses garantem que a função é comportada o suficiente (sem saltos e com tangentes internas) para que exista um ponto onde a taxa instantânea de variação coincide com a taxa média.
Passo 5
Teorema do Valor Médio — enunciado formal e prova via Rolle.
Enunciado formal: sejam e
contínua em
e diferenciável em
. Então existe
tal que
Enunciado formal: sejam
Esquema da demonstração (usando o Teorema de Rolle):
- Primeiro, enunciar Rolle (ferramenta utilizada): se
é contínua em , diferenciável em e , então existe com . - Para aplicar Rolle a
, constrói-se a função auxiliar que “subtrai” a reta secante: Observação: a expressão subtraída é a equação da reta que passa por e . - Verifica-se que
é contínua em , diferenciável em e . - Pelo Teorema de Rolle existe
tal que . - Calculando
obtém-se logo em tem-se , que é exatamente o enunciado do TVM.
Passo 6
Consequências práticas e dicas de prova (como usar na hora):
- Usar TVM para provar desigualdades do tipo
quando se sabe que em : por TVM existe com , daí . - TVM dá testes de monotonicidade: se
para todo , então é estritamente crescente em . - Em provas, verifique sempre as hipóteses: continuidade no intervalo fechado e diferenciabilidade no aberto são essenciais; faltar uma delas pode invalidar a conclusão (ex.: função contínua mas não diferenciável pode não satisfazer TVM).
- Role como lema: muitas vezes primeiro se aplica Rolle (caso
) ou se constrói a função auxiliar como no passo anterior.
Resposta
Teorema do Valor Médio (TVM): Se
é contínua em
e diferenciável em
, então existe
tal que
Teorema de Bolzano: Se
é contínua em
e
, então existe
tal que