Enuncie o Teorema do Valor Médio (TVM) e o Teorema de Bolzano.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: enunciar o Teorema do Valor Médio (TVM) e enunciar o Teorema de Bolzano. Vou listar o que vou dar:
  • A afirmação formal de cada teorema (hipóteses e conclusão).
  • Explicação do significado de cada hipótese (por que é necessária).
  • Esboço de demonstração (passos essenciais) e exemplos simples para entender como aplicar cada teorema na prova.

Passo 2

Teorema de Bolzano — ideia e hipótese.
Intuição: se uma função contínua muda de sinal entre dois pontos, então ela atinge o valor zero em algum ponto intermediário. Isso parece óbvio, mas precisa das hipóteses certas. As palavras importantes são:
  • “função contínua” significa que não há saltos; formalmente, f não tem descontinuidades em todo o intervalo considerado;
  • “muda de sinal” significa que os valores nos extremos têm produto negativo, isto é, f(a)f(b)<0.

Passo 3

Teorema de Bolzano — enunciado formal e esboço de prova.
Enunciado formal: sejam a<b e f contínua em [a,b]. Se f(a)f(b)<0, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Explicando cada parte:
  • Continuidade em [a,b]: garante que f toma todos os valores intermediários entre f(a) e f(b).
  • Produto f(a)f(b)<0: significa que f(a) e f(b) têm sinais diferentes (um positivo e outro negativo).
Esboço da demonstração (método da bisseção, simples e útil na prova):
  1. Como f(a) e f(b) têm sinais opostos, pegue o ponto médio m=(a+b)/2 e avalie f(m).
  2. Se f(m)=0 acabamos. Se não, escolhe-se o subintervalo [a,m] ou [m,b] em que os valores nas extremidades têm sinais opostos (o produto continua negativo).
  3. Repetindo a bisseção obtem-se uma sequência de intervalos [a_n,b_n] com comprimento (b-a)/2^{n} e tal que f(a_n)f(b_n)<0.
  4. Pelo teorema da convergência de Cauchy ou pelo fato de intervalos aninhados, existe um ponto c comum a todos os intervalos; pela continuidade de f, f\text{(c)}=0.
    Observação útil: Bolzano garante existência, não garante unicidade do zero (a função pode cruzar o eixo várias vezes).
Exemplo prático: Para f(x)=x^3-x-1, temos f(1)=-1 e f(2)=5; como f(1)f(2)<0 e f é polinomial (logo contínua), existe c\in(1,2) com f\text{(c)}=0.

Passo 4

Teorema do Valor Médio (TVM) — ideia e hipóteses.
Intuição: em algum ponto entre a e b, a derivada (reta tangente) é igual à inclinação da reta secante que liga (a,f(a)) a (b,f(b)). Hipóteses necessárias:
  • f contínua em [a,b];
  • f diferenciável em (a,b).
    Estas hipóteses garantem que a função é comportada o suficiente (sem saltos e com tangentes internas) para que exista um ponto onde a taxa instantânea de variação coincide com a taxa média.

Passo 5

Teorema do Valor Médio — enunciado formal e prova via Rolle.
Enunciado formal: sejam a<b e f contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). Então existe c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Esquema da demonstração (usando o Teorema de Rolle):
  1. Primeiro, enunciar Rolle (ferramenta utilizada): se g é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e g(a)=g(b), então existe \xi\in(a,b) com g'(\xi)=0.
  2. Para aplicar Rolle a f, constrói-se a função auxiliar que “subtrai” a reta secante: \varphi(x)=f(x)-\left(f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right).Observação: a expressão subtraída é a equação da reta que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)).
  3. Verifica-se que \varphi é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e \varphi(a)=\varphi(b)=0.
  4. Pelo Teorema de Rolle existe c\in(a,b) tal que \varphi'\text{(c)}=0.
  5. Calculando \varphi' obtém-se \varphi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a},logo em x=c tem-se f'\text{(c)}=(f(b)-f(a))/(b-a), que é exatamente o enunciado do TVM.

Passo 6

Consequências práticas e dicas de prova (como usar na hora):
  • Usar TVM para provar desigualdades do tipo |f(b)-f(a)|\le M(b-a) quando se sabe que |f'(x)|\le M em (a,b): por TVM existe c com f(b)-f(a)=f'\text{(c)}(b-a), daí |f(b)-f(a)|\le M|b-a|.
  • TVM dá testes de monotonicidade: se f'(x)>0 para todo x\in(a,b), então f é estritamente crescente em [a,b].
  • Em provas, verifique sempre as hipóteses: continuidade no intervalo fechado e diferenciabilidade no aberto são essenciais; faltar uma delas pode invalidar a conclusão (ex.: função contínua mas não diferenciável pode não satisfazer TVM).
  • Role como lema: muitas vezes primeiro se aplica Rolle (caso f(a)=f(b)) ou se constrói a função auxiliar como no passo anterior.

Resposta

Teorema do Valor Médio (TVM): Se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe c\in(a,b) tal que f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Teorema de Bolzano: Se f é contínua em [a,b] e f(a)f(b)<0, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.

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