Enuncie os teoremas seguintes e dê uma interpretação geométrica de cada um deles.
Teorema de Bolzano (anulamento).
Teorema de Bolzano (anulamento).
Passo 1
O enunciado pede para apresentarmos o Teorema de Bolzano (anulamento) e, em seguida, darmos uma interpretação geométrica do resultado. Esse teorema faz parte do estudo de funções contínuas em intervalos fechados de
e garante a existência de raízes (zeros) quando a função muda de sinal nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Bolzano (anulamento):
Seja uma função contínua tal que
Seja
Então existe pelo menos um ponto
em
tal que
Passo 3
Interpretação geométrica:
O gráfico de uma função contínua em que assume valores de sinais opostos em
e em
não pode “pular” a reta
. Geometricamente, isso significa que a curva
deve atravessar o eixo
em alguma abscissa
. Esse ponto de cruzamento é exatamente uma raiz da função.
O gráfico de uma função contínua em
Resposta
Enunciado:
Seja contínua e tal que
. Então existe
com
.
Seja
Interpretação geométrica:
O gráfico de em
cruza obrigatoriamente o eixo
quando
e
têm sinais opostos, garantindo ao menos uma raiz no intervalo.
O gráfico de