Enuncie os teoremas seguintes e dê uma interpretação geométrica de cada um deles.
Teorema do Valor Intermediário.
Teorema do Valor Intermediário.
Passo 1
O enunciado pede que a gente apresente o Teorema do Valor Intermediário e depois dê uma interpretação geométrica dele. O conteúdo-chave aqui é a noção de função contínua num intervalo fechado
e o comportamento de seus valores no meio desse intervalo.
Passo 2
O Teorema do Valor Intermediário diz o seguinte:
Seja
uma função contínua em
. Tome qualquer valor
entre
e
; isto é, suponha que
Então existe pelo menos um ponto
tal que
Passo 3
Interpretação geométrica: a curva que representa
em
é uma linha “sem buracos” (sem saltos). Geometricamente, os pontos
e
estão conectados por essa curva contínua. Se você desenhar uma reta horizontal de ordem
que fique entre os níveis
e
, essa reta horizontal obrigatoriamente vai cruzar o gráfico de
em pelo menos um ponto
. Em outras palavras, a curva não pode “pular” de um nível para outro sem passar pelos valores intermediários.
Resposta
O Teorema do Valor Intermediário afirma que, para toda função
contínua em
e para todo valor
existe
tal que
. Geometricamente, o gráfico de
em
é um traço sem interrupções, e qualquer reta horizontal
entre
e
cruza esse traço.