Enuncie os teoremas seguintes e dê uma interpretação geométrica de cada um deles.
Teorema do Valor Intermediário.

Passo 1

O enunciado pede que a gente apresente o Teorema do Valor Intermediário e depois dê uma interpretação geométrica dele. O conteúdo-chave aqui é a noção de função contínua num intervalo fechado [a,b] e o comportamento de seus valores no meio desse intervalo.

Passo 2

O Teorema do Valor Intermediário diz o seguinte:
Seja f uma função contínua em [a,b]. Tome qualquer valor \displaystyle k entre f(a) e f(b); isto é, suponha que
\min\{f(a),f(b)\}\le k\le \max\{f(a),f(b)\}.
Então existe pelo menos um ponto c\in[a,b] tal que
f\text{(c)} = k.

Passo 3

Interpretação geométrica: a curva que representa y=f(x) em [a,b] é uma linha “sem buracos” (sem saltos). Geometricamente, os pontos \bigl(a,f(a)\bigr) e \bigl(b,f(b)\bigr) estão conectados por essa curva contínua. Se você desenhar uma reta horizontal de ordem y=k que fique entre os níveis f(a) e f(b), essa reta horizontal obrigatoriamente vai cruzar o gráfico de f em pelo menos um ponto (c,k). Em outras palavras, a curva não pode “pular” de um nível para outro sem passar pelos valores intermediários.

Resposta

O Teorema do Valor Intermediário afirma que, para toda função f contínua em [a,b] e para todo valor
k\quad\text{com}\quad \min\{f(a),f(b)\}\le k\le \max\{f(a),f(b)\},
existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=k. Geometricamente, o gráfico de f em [a,b] é um traço sem interrupções, e qualquer reta horizontal y=k entre y=f(a) e y=f(b) cruza esse traço.

Exercícios relacionados