Enuncie o teste da raíz para convergència de séries e dê um exemplo.

Passo 1

O teste da raiz de Cauchy para a série sum an usa o valor
L = limsupntoinfty raiz[n]lvert anrvert
As conclusões são:
– Se L<1, então sum an converge absolutamente.
– Se L>1, então sum an diverge.
– Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Como exemplo, considere a série
sumn=1^infty n2^n
Calculamos
raiz[n]n2^n = raiz[n]n2 xrightarrow[ntoinfty] 12
Portanto L=tfrac12<1 e, pelo teste da raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

Teste da raiz (Cauchy): seja
L = limsupntoinfty raiz[n]lvert anrvert
bul<=t Se L<1, a série converge absolutamente.
bul<=t Se L>1, a série diverge.
bul<=t Se L=1, o teste não é conclusivo.
Exemplo: para sum n/2^n, temos
raiz[n]n2^n to tfrac12<1,
logo a série converge absolutamente.

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