Use o critério do limite( critério de comparação no limte) para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumk=1^infty k-2k^3-k^2+3. Sugestão: Use a série sumk=1^infty 1k^2.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumk=1^inftyk-2k^3-k^2+3
utilizando o critério de comparação pelo limite. O conteúdo é o teste de comparação pelo limite para séries de termos não negativos (a partir de algum N), e vamos comparar com a série p-série
sumk=1^infty 1k^2
que sabemos convergir, pois p=2>1.

Passo 2

Definimos
ak = k-2k^3-k^2+3, bk = 1k^2
Para k>=3 temos k-2>0 e k^3-k^2+3>0, logo ak>0 e bk>0. Sabemos que
sum bk = sumk=1^infty 1k^2
converge.

Passo 3

Calculamos o limite
L = limktoinftyakbk = limktoinfty dfrack-2k^3-k^2+3dfrac1k^2 = limktoinfty (k-2),k^2k^3-k^2+3 = limktoinfty k^3-2k^2k^3-k^2+3 = 1

Passo 4

O critério de comparação pelo limite diz que, se
0 < L < infty,
então sum ak e sum bk têm o mesmo comportamento de convergência. Como sum bk converge e L=1in(0,infty), concluímos que sum ak também converge.

Resposta

A série sumk=1^inftyk-2k^3-k^2+3 converge.

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