Enuncie o Teste da Razão e estude a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Enunciar o Teste da Razão.
  • Estudar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}.
Informações dadas:
  • A série é a soma dos termos \displaystyle a_n=\frac{2^{n}}{n!} para n=0,1,2,\dots.
  • Não há outras informações (por exemplo, imagem ou restrição extra).

Passo 2

Enunciado do Teste da Razão (forma padrão, com explicação das notações):
Seja \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n uma série com termos a_n\neq0 (ou ao menos a partir de algum n). Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Então:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (não permite decidir).
Observações sobre os símbolos:
  • \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| é o valor absoluto da razão entre termos consecutivos.
  • \limsup é o limite superior; quando o limite \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| existe, ele coincide com o \limsup e pode ser usado no lugar de L.

Passo 3

Intuição e ideia por trás do teste (explicação didática, passo a passo):
  • Se a razão entre termos consecutivos tende para um número menor que 1, então a partir de certo N os termos decrescem geometricamente: existe r\in(0,1) tal que \left|a_{n+1}/a_n\right|<r para todo n\ge N.
  • Isso implica |a_n| é comparável (a partir de N) a uma sequência geométrica com razão r, e uma série geométrica com razão r\in(0,1) converge. Logo \sum|a_n| converge e a série original converge absolutamente.
  • Se a razão tende a um número maior que 1, os termos não tendem a zero (ou crescem), logo a série não pode convergir.
  • Se a razão tende a 1, o teste não decide: há séries convergentes e divergentes com razão próxima de 1.
Exemplo rápido (para fixar): a série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n tem razão constante |a_{n+1}/a_n|=|r|. Pelo teste, converge se |r|<1 e diverge se |r|\ge1, que é o resultado clássico.

Passo 4

Aplicar o Teste da Razão à série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}.
Definimos os termos
a_n=\frac{2^{n}}{n!}.
Calcule a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{2^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^{\,n}}{n!}} = \frac{2^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{2^{\,n}} = \frac{2}{n+1}.
Agora calcule o limite (aqui o \limsup coincide com o limite ordinary):
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0.
Como 0<1, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente (e, portanto, converge).

Passo 5

Identificar a soma (bônus útil para prova): reconhecer a série como série exponencial.
Sabendo a expansão de Taylor/Maclaurin da exponencial,
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
podemos substituir x=2 para obter
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}.
Breve justificativa da validade: a série da exponencial converge para todo x (pelo Teste da Razão, pois a razão é |x|/(n+1)\to0), portanto essa identificação é legítima.

Passo 6

Resumo didático rápido (o que fazer numa prova):
  • Identifique a_n.
  • Calcule \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e simplifique.
  • Calcule o limite quando n\to\infty.
  • Compare com 1. Se for <1, conclua convergência absoluta; se >1, diverge.
  • Quando for possível reconhecer a série padrão (como a de e^{x}), informe também a soma.
Força aí — a parte algébrica aqui é curta: calcular \dfrac{2}{n+1} e ver que tende a 0 é rapidinho na prova.

Resposta

Teste da Razão: Seja \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n com a_n\neq0. Defina L=\limsup_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
A série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} converge absolutamente (pelo Teste da Razão, pois \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=0). Além disso,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}=e^{2}.

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