Envolto em muito mistério, o número
(número de ouro ou razão aurea) desperta há muito tempo a curiosidade e o desejo de muitos matemáticos em encontrar as suas ilimitadas aplicações.
é na verdade a pronuncia da letra f grega, inicial do nome Fídeas, escultor e arquiteto grego responsável pela construção do Partenon, em Atenas. O templo Partenon, construído entre 447 e 433 a. C., contém a razão de Ouro no retângulo que contêm a fachada (Largura / Altura). Na estrela pentagonal, os pitagóricos também utilizaram a razão áurea. Uma das maneiras de calcular o número de ouro é encontrar a raiz positiva da função
. Sendo assim, calcule o número de ouro utilizando o Método da Bisseção no intervalo [1,2] com erro
utilizando 4 dígitos significativos.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos (sem resolver nada ainda).
- Procura-se a raiz positiva de
no intervalo . - O método exigido é o Método da Bisseção.
- O erro requerido é
(ou seja, a aproximação deve ter erro absoluto menor ou igual a ). - Apresentar o resultado com 4 dígitos significativos.
Passo 2
O que é e como funciona o Método da Bisseção (explicação passo a passo, sem pular etapas).
- A ideia básica: se uma função contínua
tem sinais opostos em dois pontos e (isto é, ), então existe pelo menos uma raiz em (teorema do valor intermédio). - O método da bisseção repete: calcula o ponto médio
e verifica o sinal de . - Se
encontramos a raiz exatamente. - Se
tem mesmo sinal que , substitui-se por ; senão substitui-se por . Assim sempre mantemos um intervalo com mudança de sinal.
- Se
- Critério de parada: uma forma prática é parar quando a meia-ampitude do intervalo
fica menor ou igual ao erro desejado . Isso garante que a distância entre o ponto médio atual e a raiz verdadeira é . - Fórmula teórica para número de iterações necessárias: se o intervalo inicial tem comprimento
, então depois de iterações a meia-ampitude é . Podemos exigir e resolver para para estimar quantas iterações são mínimas.
Passo 3
Aplicando ao problema: verificar sinais nos extremos e a função a usar.
- A função é
. - Valores nos extremos do intervalo (vou calcular explicitamente):
- Como
e , há mudança de sinal e portanto existe pelo menos uma raiz em . Podemos aplicar a bisseção.
Passo 4
Estimativa do número mínimo de iterações (rápida verificação teórica).
- Comprimento inicial
. - Queremos
com . - Isso dá
- Tomando logaritmo base
: , logo . Como é inteiro, são necessárias pelo menos iterações. (Iremos fazer iterações e verificar o critério diretamente.)
Passo 5
Iteração 1:
- Intervalo inicial:
, . - Ponto médio:
. - Avaliar
: - Sinal:
(negativo), enquanto é positivo. Logo a raiz está em . - Novo intervalo:
, . - Meia-ampitude atual (estimativa de erro):
. Continuamos.
Passo 6
Iteração 2:
-
. - Avaliar
: - Sinal positivo; como
(negativo), a raiz está em . - Novo intervalo:
, . - Meia-ampitude:
. Continuamos.
Passo 7
Iteração 3:
-
. - Avaliar
: - Sinal positivo; com
, a raiz está em . - Novo intervalo:
, . - Meia-ampitude:
. Continuamos.
Passo 8
Iteração 4:
-
. - Avaliar
: - Sinal negativo; com
positivo, a raiz está em . - Novo intervalo:
, . - Meia-ampitude:
. Continuamos.
Passo 9
Iteração 5:
-
. - Avaliar
: - Sinal negativo; com
positivo, a raiz está em . - Novo intervalo:
, . - Meia-ampitude:
. Ainda maior que , então continuamos.
Passo 10
Iteração 6:
-
. - Avaliar
: - Sinal negativo; com
positivo, a raiz está em . - Novo intervalo:
, . - Meia-ampitude:
.
Como
, atingimos o critério de erro. Podemos parar aqui. A aproximação dada pela bisseção é o ponto médio da iteração atual, isto é
. Essa é uma aproximação com erro absoluto garantido menor ou igual a
.
Passo 11
Apresentação com 4 dígitos significativos (pedido do enunciado).
- A aproximação obtida é
. - Arredondando para 4 dígitos significativos: os quatro primeiros dígitos significativos são
. O quinto dígito é , então não aumenta o quarto. Logo o valor com 4 dígitos significativos é . - Checagem rápida do erro: a raiz exata (razão áurea) é
. A diferença entre e o valor exato é cerca de , portanto satisfaz o critério de erro exigido.