Envolto em muito mistério, o número \Phi (número de ouro ou razão aurea) desperta há muito tempo a curiosidade e o desejo de muitos matemáticos em encontrar as suas ilimitadas aplicações. \Phi é na verdade a pronuncia da letra f grega, inicial do nome Fídeas, escultor e arquiteto grego responsável pela construção do Partenon, em Atenas. O templo Partenon, construído entre 447 e 433 a. C., contém a razão de Ouro no retângulo que contêm a fachada (Largura / Altura). Na estrela pentagonal, os pitagóricos também utilizaram a razão áurea. Uma das maneiras de calcular o número de ouro é encontrar a raiz positiva da função g(\Phi)=\Phi^{2}-\Phi-1. Sendo assim, calcule o número de ouro utilizando o Método da Bisseção no intervalo [1,2] com erro \epsilon \leq 10^{-2} utilizando 4 dígitos significativos.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos (sem resolver nada ainda).
  • Procura-se a raiz positiva de g(\Phi)=\Phi^{2}-\Phi-1 no intervalo [1,2].
  • O método exigido é o Método da Bisseção.
  • O erro requerido é \epsilon \leq 10^{-2} (ou seja, a aproximação deve ter erro absoluto menor ou igual a 0,01).
  • Apresentar o resultado com 4 dígitos significativos.

Passo 2

O que é e como funciona o Método da Bisseção (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • A ideia básica: se uma função contínua g(x) tem sinais opostos em dois pontos a e b (isto é, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos uma raiz em (a,b) (teorema do valor intermédio).
  • O método da bisseção repete: calcula o ponto médio c=(a+b)/2 e verifica o sinal de g\text{(c)}.
    • Se g\text{(c)}=0 encontramos a raiz exatamente.
    • Se g\text{(c)} tem mesmo sinal que g(a), substitui-se a por c; senão substitui-se b por c. Assim sempre mantemos um intervalo [a,b] com mudança de sinal.
  • Critério de parada: uma forma prática é parar quando a meia-ampitude do intervalo (b-a)/2 fica menor ou igual ao erro desejado \epsilon. Isso garante que a distância entre o ponto médio atual e a raiz verdadeira é \leq\epsilon.
  • Fórmula teórica para número de iterações necessárias: se o intervalo inicial tem comprimento L_0=b-a, então depois de n iterações a meia-ampitude é \dfrac{L_0}{2^{\,n+1}}. Podemos exigir \dfrac{L_0}{2^{\,n+1}}\le\epsilon e resolver para n para estimar quantas iterações são mínimas.

Passo 3

Aplicando ao problema: verificar sinais nos extremos e a função a usar.
  • A função é g(x)=x^{2}-x-1.
  • Valores nos extremos do intervalo (vou calcular explicitamente): g(1)=1^{2}-1-1=1-1-1=-1,
g(2)=2^{2}-2-1=4-2-1=1.
  • Como g(1)=-1 e g(2)=1, há mudança de sinal e portanto existe pelo menos uma raiz em [1,2]. Podemos aplicar a bisseção.

Passo 4

Estimativa do número mínimo de iterações (rápida verificação teórica).
  • Comprimento inicial L_0=b-a=2-1=1.
  • Queremos \dfrac{L_0}{2^{\,n+1}}\le\epsilon com \epsilon=10^{-2}.
  • Isso dá \dfrac{1}{2^{\,n+1}}\le 0{,}01 \quad\Rightarrow\quad 2^{\,n+1}\ge 100.
  • Tomando logaritmo base 2: n+1\ge\log_{2}100\approx 6{,}643, logo n\ge 5{,}643. Como n é inteiro, são necessárias pelo menos n=6 iterações. (Iremos fazer iterações e verificar o critério diretamente.)

Passo 5

Iteração 1:
  • Intervalo inicial: a_{0}=1, b_{0}=2.
  • Ponto médio: c_{1}=\dfrac{1+2}{2}=1{,}5.
  • Avaliar g(c_{1}): g(1{,}5)=1{,}5^{2}-1{,}5-1=2{,}25-1{,}5-1=-0{,}25.
  • Sinal: g(1{,}5)=-0{,}25 (negativo), enquanto g(2)=1 é positivo. Logo a raiz está em [1{,}5,\,2].
  • Novo intervalo: a_{1}=1{,}5, b_{1}=2.
  • Meia-ampitude atual (estimativa de erro): \dfrac{b_{1}-a_{1}}{2}=\dfrac{0{,}5}{2}=0{,}25>0{,}01. Continuamos.

Passo 6

Iteração 2:
  • c_{2}=\dfrac{1{,}5+2}{2}=1{,}75.
  • Avaliar g(1{,}75): g(1{,}75)=1{,}75^{2}-1{,}75-1=3{,}0625-1{,}75-1=0{,}3125.
  • Sinal positivo; como g(1{,}5)=-0{,}25 (negativo), a raiz está em [1{,}5,\,1{,}75].
  • Novo intervalo: a_{2}=1{,}5, b_{2}=1{,}75.
  • Meia-ampitude: \dfrac{b_{2}-a_{2}}{2}=\dfrac{0{,}25}{2}=0{,}125>0{,}01. Continuamos.

Passo 7

Iteração 3:
  • c_{3}=\dfrac{1{,}5+1{,}75}{2}=1{,}625.
  • Avaliar g(1{,}625): g(1{,}625)=1{,}625^{2}-1{,}625-1=2{,}640625-1{,}625-1=0{,}015625.
  • Sinal positivo; com g(1{,}5)=-0{,}25, a raiz está em [1{,}5,\,1{,}625].
  • Novo intervalo: a_{3}=1{,}5, b_{3}=1{,}625.
  • Meia-ampitude: \dfrac{b_{3}-a_{3}}{2}=\dfrac{0{,}125}{2}=0{,}0625>0{,}01. Continuamos.

Passo 8

Iteração 4:
  • c_{4}=\dfrac{1{,}5+1{,}625}{2}=1{,}5625.
  • Avaliar g(1{,}5625): g(1{,}5625)=1{,}5625^{2}-1{,}5625-1=2{,}44140625-1{,}5625-1=-0{,}12109375.
  • Sinal negativo; com g(1{,}625)=0{,}015625 positivo, a raiz está em [1{,}5625,\,1{,}625].
  • Novo intervalo: a_{4}=1{,}5625, b_{4}=1{,}625.
  • Meia-ampitude: \dfrac{b_{4}-a_{4}}{2}=\dfrac{0{,}0625}{2}=0{,}03125>0{,}01. Continuamos.

Passo 9

Iteração 5:
  • c_{5}=\dfrac{1{,}5625+1{,}625}{2}=1{,}59375.
  • Avaliar g(1{,}59375): g(1{,}59375)=1{,}59375^{2}-1{,}59375-1=2{,}540283203125-1{,}59375-1=-0{,}053466796875.
  • Sinal negativo; com g(1{,}625)=0{,}015625 positivo, a raiz está em [1{,}59375,\,1{,}625].
  • Novo intervalo: a_{5}=1{,}59375, b_{5}=1{,}625.
  • Meia-ampitude: \dfrac{b_{5}-a_{5}}{2}=\dfrac{0{,}03125}{2}=0{,}015625>0{,}01. Ainda maior que \epsilon, então continuamos.

Passo 10

Iteração 6:
  • c_{6}=\dfrac{1{,}59375+1{,}625}{2}=1{,}609375.
  • Avaliar g(1{,}609375): g(1{,}609375)=1{,}609375^{2}-1{,}609375-1=2{,}590057373046875-1{,}609375-1=-0{,}0189208984375.
  • Sinal negativo; com g(1{,}625)=0{,}015625 positivo, a raiz está em [1{,}609375,\,1{,}625].
  • Novo intervalo: a_{6}=1{,}609375, b_{6}=1{,}625.
  • Meia-ampitude: \dfrac{b_{6}-a_{6}}{2}=\dfrac{0{,}015625}{2}=0{,}0078125.
Como \dfrac{b_{6}-a_{6}}{2}=0{,}0078125\le 0{,}01=\epsilon, atingimos o critério de erro. Podemos parar aqui. A aproximação dada pela bisseção é o ponto médio da iteração atual, isto é c_{6}=1{,}609375. Essa é uma aproximação com erro absoluto garantido menor ou igual a 0{,}01.

Passo 11

Apresentação com 4 dígitos significativos (pedido do enunciado).
  • A aproximação obtida é 1{,}609375.
  • Arredondando para 4 dígitos significativos: os quatro primeiros dígitos significativos são 1,6,0,9. O quinto dígito é 3, então não aumenta o quarto. Logo o valor com 4 dígitos significativos é 1{,}609.
  • Checagem rápida do erro: a raiz exata (razão áurea) é \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}6180339\ldots. A diferença entre 1{,}609375 e o valor exato é cerca de 0{,}00866<0{,}01, portanto satisfaz o critério de erro exigido.

Resposta

1{,}609

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