Calcule o comprimento do arco da curva
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o comprimento do arco da curva
do ponto
até o ponto
.
Informações dadas:
- A curva é dada por
. - Os extremos do arco são
e , correspondendo aos pontos e .
O que se pede:
- Calcular o comprimento do arco entre esses dois pontos.
Passo 2
Qual fórmula vamos usar? Quando temos uma curva no plano descrita por uma função
, diferenciável em
, o comprimento do arco de
até
é dado por
Explicando de forma intuitiva: se aproximarmos a curva por muitos segmentos de reta muito pequenos, cada segmento tem comprimento aproximado pela hipotenusa de um triângulo com catetos
e
. Pela fórmula de Pitágoras o comprimento do segmento é
. Fazendo a soma desses segmentos e passando ao limite obtém-se a integral acima. Então precisamos:
- calcular
, - montar
, - integrar de
a .
Passo 3
Simplificar a função e calcular a derivada com cuidado.
A função dada é
Escrevendo com potências:
Aplicamos a regra do poder (power rule): se
então
. Aqui
, logo
Passo 4
Calcular
e montar o integrando.
Temos
Portanto o integrando fica
O comprimento é então
Passo 5
Resolver a integral por substituição, explicando cada passo.
Faça a substituição linear natural:
Então
Alterando os limites: quando
temos
; quando
temos
.
Substituindo na integral:
Agora integramos a potência usando a regra
para
. Com
obtém-se
Logo
Passo 6
Simplificar a expressão final de forma exata.
Calcule
. Escrevendo como
. Substituindo na expressão para
:
Se quiser uma ideia numérica rápida (apenas para checar),
e então
. (Não coloquei essa aproximação como resposta final exata.)