Calcule o comprimento do arco da curva y=x \sqrt{x} de (0,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o comprimento do arco da curva y=x\sqrt{x} do ponto (0,0) até o ponto (1,1).
Informações dadas:
  • A curva é dada por y=x\sqrt{x}.
  • Os extremos do arco são x=0 e x=1, correspondendo aos pontos (0,0) e (1,1).
O que se pede:
  • Calcular o comprimento do arco entre esses dois pontos.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar? Quando temos uma curva no plano descrita por uma função y=f(x), diferenciável em [a,b], o comprimento do arco de x=a até x=b é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicando de forma intuitiva: se aproximarmos a curva por muitos segmentos de reta muito pequenos, cada segmento tem comprimento aproximado pela hipotenusa de um triângulo com catetos \Delta x e \Delta y. Pela fórmula de Pitágoras o comprimento do segmento é \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\Delta x\sqrt{1+(\Delta y/\Delta x)^{2}}. Fazendo a soma desses segmentos e passando ao limite obtém-se a integral acima. Então precisamos:
  1. calcular f'(x),
  2. montar \sqrt{1+(f'(x))^{2}},
  3. integrar de 0 a 1.

Passo 3

Simplificar a função e calcular a derivada com cuidado.
A função dada é
y = x\sqrt{x}.
Escrevendo com potências:
y = x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}.
Aplicamos a regra do poder (power rule): se y=x^{n} então y' = n x^{n-1}. Aqui n=\tfrac{3}{2}, logo
y' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}.

Passo 4

Calcular \bigl(y'\bigr)^{2} e montar o integrando.
Temos
\bigl(y'\bigr)^{2}=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)^{2}=\frac{9}{4}x.
Portanto o integrando fica
\sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^{2}}=\sqrt{1+\frac{9}{4}x}.
O comprimento é então
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,dx.

Passo 5

Resolver a integral por substituição, explicando cada passo.
Faça a substituição linear natural:
u=1+\frac{9}{4}x.
Então
du=\frac{9}{4}\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{4}{9}\,du.
Alterando os limites: quando x=0 temos u=1; quando x=1 temos u=1+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}.
Substituindo na integral:
L=\int_{u=1}^{u=13/4}\sqrt{u}\cdot\frac{4}{9}\,du=\frac{4}{9}\int_{1}^{13/4}u^{1/2}\,du.
Agora integramos a potência usando a regra \int u^{p}\,du=\dfrac{u^{p+1}}{p+1} para p\neq-1. Com p=\tfrac{1}{2} obtém-se
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Logo
L=\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{1}^{13/4}=\frac{8}{27}\Bigl(\Bigl(\frac{13}{4}\Bigr)^{3/2}-1\Bigr).

Passo 6

Simplificar a expressão final de forma exata.
Calcule \displaystyle\Bigl(\frac{13}{4}\Bigr)^{3/2}. Escrevendo como \bigl(\sqrt{\tfrac{13}{4}}\bigr)^{3}=\bigl(\tfrac{\sqrt{13}}{2}\bigr)^{3}=\dfrac{13\sqrt{13}}{8}. Substituindo na expressão para L:
L=\frac{8}{27}\left(\frac{13\sqrt{13}}{8}-1\right)=\frac{13\sqrt{13}-8}{27}.
Se quiser uma ideia numérica rápida (apenas para checar), \sqrt{13}\approx 3,6055 e então L\approx\frac{13\cdot 3,6055-8}{27}\approx\frac{46,8715-8}{27}\approx\frac{38,8715}{27}\approx1,440. (Não coloquei essa aproximação como resposta final exata.)

Resposta

\dfrac{13\sqrt{13}-8}{27}

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