Calcule a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo x da curva y=\sqrt{4-x^{2}}, com -1 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo x da curva y=\sqrt{4-x^{2}} no intervalo -1 \leq x \leq 1.
Informações dadas:
  • A função é y(x)=\sqrt{4-x^{2}}.
  • O intervalo em x é [-1,1].
  • O eixo de rotação é o eixo x.
O objetivo é calcular a área da superfície gerada por essa rotação.

Passo 2

Vamos usar a fórmula padrão para a área de superfície obtida pela rotação de uma curva y=y(x) (com y\ge0) em torno do eixo x:
S = 2\pi \int_{a}^{b} y(x)\,\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx.
Explicando cada parte:
  • S é a área da superfície procurada.
  • a e b são os limites do intervalo em x (aqui a=-1 e b=1).
  • y(x) é a distância radial até o eixo de rotação (a circunferência gerada tem raio y, por isso aparece o fator 2\pi y).
  • y'(x) é a derivada de y em relação a x.
  • \sqrt{1+(y')^{2}}\,dx é o comprimento de um elemento diferencial de arco ds (pois ds=\sqrt{1+(y')^{2}}\,dx).
    Portanto cada pedaço de curva de comprimento ds gera uma faixa de área dS=2\pi y\,ds, e integramos para obter a área total.

Passo 3

Calcular a derivada y'(x) da função y(x)=\sqrt{4-x^{2}}=(4-x^{2})^{1/2}.
Usando a regra da cadeia:
y'(x)=\frac{1}{2}(4-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}.

Passo 4

Calcular 1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2} e sua raiz:
\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\frac{x^{2}}{4-x^{2}},
logo
1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}=\frac{4-x^{2}+x^{2}}{4-x^{2}}=\frac{4}{4-x^{2}}.
Portanto
\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}=\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}}}.
Note que \sqrt{4-x^{2}}=y(x), então a raiz também pode ser escrita como \dfrac{2}{y(x)}.

Passo 5

Substituir na fórmula da área o valor de \sqrt{1+(y')^{2}}:
S=2\pi\int_{-1}^{1} y(x)\cdot \sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;dx =2\pi\int_{-1}^{1} y(x)\cdot \frac{2}{y(x)}\;dx.
A expressão simplifica porque y(x) cancela:
y(x)\cdot \frac{2}{y(x)}=2.
Logo a integral torna-se simples:
S=2\pi\int_{-1}^{1} 2\;dx = 4\pi\int_{-1}^{1} 1\;dx.

Passo 6

Calcular a integral:
\int_{-1}^{1} 1\;dx = (1)-(-1)=2.
Portanto
S = 4\pi \cdot 2 = 8\pi.

Passo 7

Verificação geométrica rápida (confirmação): a curva y=\sqrt{4-x^{2}} é a semicircunferência superior de raio 2. Se a semicircunferência inteira de -2\le x\le2 fosse girada gera uma esfera de raio 2 com área 4\pi R^{2}=16\pi. O intervalo dado [-1,1] corresponde a uma faixa (zona esférica) de altura h=1-(-1)=2 sobre a esfera; a área de uma zona esférica é 2\pi R h, que dá 2\pi\cdot 2\cdot 2=8\pi, consistente com o resultado obtido pela integral.

Resposta

8\pi

Exercícios relacionados