Calcule a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo
da curva
, com
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo
da curva
no intervalo
.
Informações dadas:
- A função é
. - O intervalo em
é . - O eixo de rotação é o eixo
.
O objetivo é calcular a área da superfície gerada por essa rotação.
Passo 2
Vamos usar a fórmula padrão para a área de superfície obtida pela rotação de uma curva
(com
) em torno do eixo
:
Explicando cada parte:
-
é a área da superfície procurada. -
e são os limites do intervalo em (aqui e ). -
é a distância radial até o eixo de rotação (a circunferência gerada tem raio , por isso aparece o fator ). -
é a derivada de em relação a . -
é o comprimento de um elemento diferencial de arco (pois ).
Portanto cada pedaço de curva de comprimentogera uma faixa de área , e integramos para obter a área total.
Passo 3
Calcular a derivada
da função
.
Usando a regra da cadeia:
Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Calcular
e sua raiz:
logo
Portanto
Note que
, então a raiz também pode ser escrita como
.
Passo 5
Substituir na fórmula da área o valor de
:
A expressão simplifica porque
cancela:
Logo a integral torna-se simples:
Passo 6
Calcular a integral:
Portanto
Passo 7
Verificação geométrica rápida (confirmação): a curva
é a semicircunferência superior de raio
. Se a semicircunferência inteira de
fosse girada gera uma esfera de raio
com área
. O intervalo dado
corresponde a uma faixa (zona esférica) de altura
sobre a esfera; a área de uma zona esférica é
, que dá
, consistente com o resultado obtido pela integral.