1. (2,5) Com uma tensão aplicada de 300 \operatorname{sen}\left(377 t-75^{\circ}\right) \mathrm{V}, um circuito consome 2,1 \cos \left(377 t+70^{\circ}\right) A. Determine todas as informações de potência (potência complexa, ativa, reativa, aparente e fator de potência) e a impedância da carga.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado nos dá e do que pede.
  • Tensão no tempo: \;v(t)=300\operatorname{sen}\bigl(377t-75^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.
  • Corrente no tempo: \;i(t)=2{,}1\cos\bigl(377t+70^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}.
O enunciado pede:
  • Potência complexa \;S\; (em VA, forma complexa).
  • Potência ativa \;P\; (em W).
  • Potência reativa \;Q\; (em var).
  • Potência aparente \;|S|\; (em VA).
  • Fator de potência (valor numérico e indicação se é atrasado/adiantado).
  • Impedância da carga \;Z\; (em ohms), preferivelmente em forma polar e retangular.
Passos seguintes transformarão sinais temporais em fasores (valores eficazes), calcularão \;S=V_{rms}I_{rms}^*\;, extrairão P e Q e em seguida determinarão \;Z=V_{rms}/I_{rms}\;.

Passo 2

Converter as funções temporais para fasores (usar referência em cosseno e valores RMS).
  1. Transformar \operatorname{sen} em \cos. Regra: \operatorname{sen}(\theta)=\cos(\theta-90^\circ). Logo
v(t)=300\operatorname{sen}\bigl(377t-75^\circ\bigr)=300\cos\bigl(377t-75^\circ-90^\circ\bigr)=300\cos\bigl(377t-165^\circ\bigr).
Então o fasor de amplitude (pico) é 300\angle-165^\circ.
  1. A corrente já está em cosseno: amplitude 2{,}1 e ângulo +70^\circ.
  2. Passar amplitudes para valores eficazes (RMS). Regra: para um sinal x(t)=X_m\cos(\omega t+\varphi), o fasor RMS é X_{rms}=\dfrac{X_m}{\sqrt{2}}\angle\varphi.
Portanto:
V_{rms}=\dfrac{300}{\sqrt{2}}\angle{-165^\circ}, \qquad I_{rms}=\dfrac{2{,}1}{\sqrt{2}}\angle{70^\circ}.
Calcular os módulos numéricos (apenas para referência numérica posterior):
\dfrac{300}{\sqrt{2}}\approx 212{,}132\\ \mathrm{V},\qquad \dfrac{2{,}1}{\sqrt{2}}\approx 1{,}4849\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Fórmula e cálculo da potência complexa \;S\;.
Conceito/fórmula: A potência complexa em regime senoidal é
S=V_{rms}I_{rms}^*,
onde I_{rms}^* é o conjugado do fasor de corrente RMS. Em forma polar isso equivale a multiplicar os módulos e somar os ângulos do V_{rms} e do I_{rms}^* (o ângulo do conjugado é o negativo do ângulo de I_{rms}).
Aplicando:
S=\left(\dfrac{300}{\sqrt{2}}\angle{-165^\circ}\right) \left(\dfrac{2{,}1}{\sqrt{2}}\angle{-70^\circ}\right).
Os fatores \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2} multiplicam as amplitudes, então o módulo de S é
|S|=\dfrac{300\cdot 2{,}1}{2}=315\\ \mathrm{VA}.
O ângulo de S é
\angle S=-165^\circ + (-70^\circ)=-235^\circ.
É costume tomar o ângulo principal entre -180^\circ e 180^\circ. Somando 360^\circ,
-235^\circ +360^\circ =125^\circ.
Portanto, em forma polar:
S=315\angle{125^\circ}\\ \mathrm{VA}.

Passo 4

Obter potência ativa P e reativa Q (forma retangular de S).
Conceito: se S=|S|\angle\varphi então
P=\operatorname{Re}(S)=|S|\cos\varphi, \qquad Q=\operatorname{Im}(S)=|S|\sin\varphi.
Aqui |S|=315 e \varphi=125^\circ. Logo:
P=315\cos(125^\circ),\qquad Q=315\sin(125^\circ).
Calcular numericamente (usar valores trigonométricos):
\cos(125^\circ)=\cos(180^\circ-55^\circ)=-\cos(55^\circ)\approx -0{,}573576,
\sin(125^\circ)=\sin(180^\circ-55^\circ)=\sin(55^\circ)\approx 0{,}819152.
Assim
P\approx 315\cdot(-0{,}573576)\approx -180{,}70\\ \mathrm{W},
Q\approx 315\cdot 0{,}819152\approx 258{,}03\\ \mathrm{var}.
Portanto a forma retangular é
S=P+jQ\approx -180{,}70 + j258{,}03\\ \mathrm{VA}.
Comentário físico curto: P<0 indica que, com os sinais dados, a carga está fornecendo potência ativa (ou seja, potência ativa líquida sai para a fonte) — isso é consequência dos ângulos fornecidos. Q>0 indica reativo indutivo (corrente em atraso em relação à tensão).

Passo 5

Potência aparente e fator de potência.
Definições:
  • Potência aparente: |S|=\sqrt{P^2+Q^2}. Já tínhamos |S|=315\\ \mathrm{VA} pelo produto dos RMS.
  • Fator de potência: \mathrm{PF}=\dfrac{P}{|S|}=\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo de S. O sinal de PF indica se P é absorvido (positivo) ou entregue (negativo); a designação “atrasado/adiantado” (lagging/leading) refere-se ao desfasamento entre corrente e tensão.
Calculando:
|S|=315\\ \mathrm{VA}.
\mathrm{PF}=\dfrac{-180{,}70}{315}\approx -0{,}5736.
Em módulo o fator de potência é 0{,}5736. Para classificar atraso/adiantado: como encontramos Q>0 (reativo indutivo) e a corrente está em atraso em relação à tensão (veja ângulos: V com ângulo -165^\circ e I com +70^\circ, portanto V antecede I), dizemos que o fator de potência é de 0{,}5736 “atrasado” (lagging). O sinal negativo de \mathrm{PF} apenas reforça que P é negativo (potência ativa sendo entregue pela carga).

Passo 6

Cálculo da impedância da carga \;Z\;=\;V_{rms}/I_{rms}.
Fórmula: para fasores RMS,
Z=\dfrac{V_{rms}}{I_{rms}}.
Usando os fasores do Passo 2:
Z=\dfrac{\dfrac{300}{\sqrt{2}}\angle{-165^\circ}}{\dfrac{2{,}1}{\sqrt{2}}\angle{70^\circ}} =\dfrac{300}{2{,}1}\angle{(-165^\circ-70^\circ)}.
Calcular módulo:
\dfrac{300}{2{,}1}\approx 142{,}857\\ \Omega.
Ângulo:
-165^\circ-70^\circ=-235^\circ \equiv 125^\circ\\ (\text{ângulo principal}).â
Logo em forma polar:
Z\approx 142{,}857\angle{125^\circ}\\ \Omega.

Passo 7

Converter a impedância para forma retangular Z=R+jX e interpretar sinais.
Regras: R=|Z|\cos\theta e X=|Z|\sin\theta, com |Z|=142{,}857 e \theta=125^\circ.
Cálculo:
R=142{,}857\cos(125^\circ)\approx 142{,}857\cdot(-0{,}573576)\approx -81{,}94\\ \Omega,
X=142{,}857\sin(125^\circ)\approx 142{,}857\cdot 0{,}819152\approx 117{,}02\\ \Omega.
Portanto
Z\approx -81{,}94 + j117{,}02\\ \Omega.
Interpretação: o sinal positivo de X confirma comportamento indutivo (reatância indutiva). O R negativo está em acordo com P<0: a carga, com os sinais dados, entrega potência ativa (comportamento equivalente a ter uma resistência de sinal negativo, ou seja, fonte ativa). Em problemas práticos, um elemento passivo não teria R<0, mas matematicamente a impedância calculada está correta para os fasores fornecidos.

Resposta

S=315\angle{125^\circ}\\ \mathrm{VA}\quad\bigl(\approx -180{,}70 + j258{,}03\\ \mathrm{VA}\bigr)
P=-180{,}70\\ \mathrm{W}
Q=258{,}03\\ \mathrm{var}
|S|=315\\ \mathrm{VA}
\mathrm{PF}=-0{,}5736\quad\text{(módulo }0{,}5736\text{, fator de potência atrasado — lagging)}óê
Z=142{,}857\angle{125^\circ}\\ \Omega\quad\bigl(\approx -81{,}94 + j117{,}02\\ \Omega\bigr)

Exercícios relacionados