Sejam a e b números reais, a neq 0, e considere a função f: R R definida por
f(x)= sen x raiz[3]x+1a x, & se x<0 1+e^x, & se 0 <= x<1 b sen(pi x), & se x >= 1
O gráfico da função do item c ) possui reta tangente no ponto de abscissa x=-1?

Passo 1

O enunciado define a função por partes e pergunta se o gráfico em x=–1 admite reta tangente. Esse ponto está na região x<0, onde
f(x)=sin x,raiz[3]x+1a,x
Logo, vamos usar conceitos de derivada (definição via limite de razão de diferenças) e comportamento da raiz cúbica em zero.

Passo 2

Primeiro, calculemos o valor de f(–1). Como x<0, vale
f(-1)=sin(-1),raiz[3]-1+1a,(-1)=sin(-1)cdot0-a=0

Passo 3

Para investigar a existência da reta tangente, examinamos o limite
f'(-1)=limhto0^-f(-1+h)-f(-1)h= limhto0^-sin(-1+h),(h)^1/3a(-1+h)cdot1h
Note que x+1=h, e f(-1)=0.

Passo 4

Reescrevendo o quociente:
f(-1+h)h=sin(-1+h),h^1/3a(-1+h),h=sin(-1+h)a(-1+h);h^-2/3
À medida que h→0^-, temos sin(-1+h)tosin(-1)neq0 e a(-1+h)to -aneq0, mas h^-2/3to+infty.

Passo 5

O limite do quociente cresce em módulo sem limite, o que significa que a derivada tradicional não é finita. Ainda assim, como o declive tende a ±∞ de forma única, o gráfico admite reta tangente vertical. Essa reta é dada por x=–1.

Resposta

Sim. Há reta tangente vertical no ponto de abscissa x=–1, dada por x=–1.

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