Uma epidemia causada por uma nova linhagem do vírus da gripe acaba de ser descoberta pelas autoridades sanitárias. No momento, 3000 pessoas estão infectadas e o número de pessoas infectadas está aumentando à uma taxa de R(t)=50 \cdot \sqrt{t}, pessoas por dia. Além disso, a fração de pessoas infectadas que ainda estão doentes t semanas após o início dos sintomas é dado por \mathrm{S}(\mathrm{t})=\mathrm{e}^{-0.01 \cdot \mathrm{t}}. Use a 1^{\mathrm{a}} Regra de Simpson composta com \mathrm{n}=8, para estimar o número de pessoas que estarão doente daqui a 8 semanas, sabendo que a integral que modela esse problema é dada por \mathrm{V}(\mathrm{F})=\mathrm{P}_{0} \cdot \mathrm{~S}(\mathrm{t})+\int_{0}^{\mathrm{T}} \mathrm{f}(\mathrm{t}) \cdot \mathrm{S}(\mathrm{t})(\mathrm{T}-\mathrm{t}) \cdot \mathrm{d}(\mathrm{t}) \cdot \mathrm{R}: 3.496 pessoas.

Passo 1

O enunciado diz que no instante inicial existem P_{0}=3000 infectados e que novas infecções ocorrem à taxa
R(t)=50\sqrt{t}\quad(\text{pessoas/dia}),
enquanto a fração que ainda permanece doente t semanas após a infecção é
S(t)=e^{-0.01\,t}.
Queremos estimar o número de pessoas doentes após T=8 semanas, dado pelo modelo
V(T)=P_{0}\,S(T)\;+\;\int_{0}^{T}R(t)\,S(T - t)\,\mathrm{d}t.
Para avaliar a integral vamos usar a Regra de Simpson composta com n=8 subintervalos (logo h=(8-0)/8=1 semana).

Passo 2

Definimos a função a integrar
f(t)=R(t)\,S(8 - t) =50\sqrt{t}\,\exp\bigl(-0.01\,(8 - t)\bigr) =50\sqrt{t}\,\exp(-0.08+0.01\,t).
Vamos calcular f(t_k) em t_k=k, k=0,1,\dots,8, com passo h=1.

Passo 3

Cálculo dos valores (aprox.):
\begin{aligned} f(0)&=0,\\\ f(1)&=50\cdot1\cdot e^{-0.07}\approx46.62,\\\ f(2)&=50\sqrt{2}\,e^{-0.06}\approx66.60,\\\ f(3)&=50\sqrt{3}\,e^{-0.05}\approx82.36,\\\ f(4)&=50\cdot2\;e^{-0.04}\approx96.08,\\\ f(5)&=50\sqrt{5}\,e^{-0.03}\approx108.46,\\\ f(6)&=50\sqrt{6}\,e^{-0.02}\approx120.03,\\\ f(7)&=50\sqrt{7}\,e^{-0.01}\approx131.00,\\\ f(8)&=50\cdot2.8284\;e^{0}\approx141.42. \end{aligned}

Passo 4

Aplicando Simpson composto:
\int_{0}^{8}f(t)\,\mathrm{d}t \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(0)+f(8) +4\sum_{k\text{ ímpar}}f(k) +2\sum_{k\text{ par},\,k\neq0,8}f(k)\Bigr].í
Aqui
f(0)+f(8)=0+141.42=141.42,
4\sum_{k=1,3,5,7}f(k)=4(46.62+82.36+108.46+131.00)=1473.74,
2\sum_{k=2,4,6}f(k)=2(66.60+96.08+120.03)=565.42,
logo
\int_{0}^{8}f(t)\,\mathrm{d}t\approx \frac{1}{3}\bigl(141.42+1473.74+565.42\bigr) \approx726.86.

Passo 5

Calculamos o primeiro termo P_{0}S(8):
P_{0}S(8)=3000\,e^{-0.01\cdot8}=3000\,e^{-0.08}\approx3000\cdot0.9231=2769.3.

Passo 6

Somando ambos os termos obtenemos
V(8)\approx2769.3+726.86=3496.16.

Resposta

Estimamos que cerca de 3496 pessoas ainda estarão doentes daqui a 8 semanas.

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