Com seu equipamento antipoluição funcionando, uma indústria ainda lança poluentes (em toneladas) em um rio de sua vizinhança, durante o x-ésimo ano de operação do equipamento, de acordo com a equação f(x)=\frac{10.000}{\sqrt[3]{x^{2}}}. Os padrões estabelecidos pelo órgão de proteção do meio ambiente exigem que o total de poluentes lançados ao rio nos próximos 27 anos seja menor do que 80.000 toneladas. Calcule pelo método trapézio composto, com n = 6, a quantidade de poluentes que será despejada neste período e verifique se os padrões de proteção ao meio ambiente serão obedecidos.
R: Aproximadamente 69.610 toneladas; sim.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de lançamento anual de poluentes (em toneladas)
f(x) = \frac{10000}{\sqrt[3]{x^2}} = 10000\,x^{-2/3}
durante o x-ésimo ano, e pede que o total despejado nos próximos 27 anos seja aproximado pelo método dos trapézios compostos com n=6. Em seguida, devemos verificar se esse total fica abaixo de 80000 toneladas.

Passo 2

Vamos aproximar a integral
\int_{1}^{27} f(x)\,dx
usando a regra do trapézio composto com n=6. A largura de cada subintervalo é
h = \frac{27 - 1}{6} = \frac{26}{6} \approx 4{,}3333.
Os nós são
x_i = 1 + i\,h,\quad i=0,1,\dots,6.

Passo 3

Listamos os pontos x_i e calculamos f(x_i)=10000\,x_i^{-2/3}:
\begin{aligned} x_0 &= 1 & f(x_0)&=10000\cdot1^{-2/3}=10000,\\\ x_1 &= 1 + 4{,}3333\approx5{,}3333 & f(x_1)&\approx10000\,(5{,}3333)^{-2/3}\approx3288,\\\ x_2 &= 1 + 2\cdot4{,}3333\approx9{,}6667 & f(x_2)&\approx2208,\\\ x_3 &= 1 + 3\cdot4{,}3333=14 & f(x_3]&\approx1722,\\\ x_4 &= 1 + 4\cdot4{,}3333\approx18{,}3333 & f(x_4)&\approx1442,\\\ x_5 &= 1 + 5\cdot4{,}3333\approx22{,}6667 & f(x_5)&\approx1249,\\\ x_6 &= 27 & f(x_6]&=10000\cdot27^{-2/3}=10000/9\approx1111{,}11. \end{aligned}

Passo 4

A fórmula do trapézio composto é
\int_{1}^{27} f(x)\,dx \approx h\Bigl(\tfrac12f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)+f(x_5)+\tfrac12f(x_6)\Bigr).
Substituindo:
\begin{aligned} S &=4{,}3333\Bigl(\tfrac12\cdot10000 + 3288 + 2208 + 1722 + 1442 +1249 + \tfrac12\cdot1111{,}11\Bigr)\\\ &=4{,}3333\Bigl(5000 + (3288+2208+1722+1442+1249) +555{,}56\Bigr)\\\ &=4{,}3333\Bigl(5000 + 991+? \Bigr) \quad\text{(soma interna)}\\\ &\approx4{,}3333\times15446{,}66\\\ &\approx66936\\ \text{toneladas}. \end{aligned}

Passo 5

Comparando com o limite de 80000 toneladas, vemos que
66936 < 80000,
logo os padrões de proteção ao meio ambiente serão obedecidos.

Resposta

A quantidade aproximada de poluentes despejada nos 27 anos é 66936 toneladas; portanto, sim, o limite de 80000 toneladas é respeitado.

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