Nas equaçÔes abaixo, decida quando o método dos coeficientes a determinar poderå ser utilizado para encontrar uma solução particular da equação.
2 y^prime prime-6 y^prime+y=sen xe^4 x

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2y’'−6y′+y=\frac{\sin x}{e^{4x}}. O conteúdo é o método dos coeficientes a determinar e vamos precisar da equação característica da parte homogênea e da forma do termo forçante.

Passo 2

Formação da equação característica: da parte homogênea 2y’'−6y′+y=0 obtemos
2r^2-6r+1=0
Resolvendo:
r=6pmraiz36-84=3pmraiz72
Portanto as raízes são reais e distintas: r_1=\frac{3+\sqrt7}{2}, r_2=\frac{3-\sqrt7}{2}.

Passo 3

Identificação do forçante: o termo do lado direito é
sin xe^4x=e^-4xsin x
Para o método dos coeficientes a determinar, propomos a solução particular
yp=e^-4x(Acos x+Bsin x)

Passo 4

Verificação de ressonância: o “modo” da forçante é dado pelos valores complexos r=−4±i. Como esses não coincidem com as raízes reais r_1 e r_2 da equação característica, não há ressonância e o método é aplicável.

Resposta

O método dos coeficientes a determinar pode ser usado, pois o forçante é da forma e^{-4x}\sin x e −4±i não são raízes de 2r^2−6r+1=0.

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