Nas equaçÔes abaixo, decida quando o método dos coeficientes a determinar poderå ser utilizado para encontrar uma solução particular da equação.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2y’'−6y′+y=\frac{\sin x}{e^{4x}}. O conteúdo é o método dos coeficientes a determinar e vamos precisar da equação característica da parte homogênea e da forma do termo forçante.
2y’'−6y′+y=\frac{\sin x}{e^{4x}}. O conteúdo é o método dos coeficientes a determinar e vamos precisar da equação característica da parte homogênea e da forma do termo forçante.
Passo 2
Formação da equação característica: da parte homogênea 2y’'−6y′+y=0 obtemos
Resolvendo:
Portanto as raízes são reais e distintas: r_1=\frac{3+\sqrt7}{2}, r_2=\frac{3-\sqrt7}{2}.
Passo 3
Identificação do forçante: o termo do lado direito é
Para o método dos coeficientes a determinar, propomos a solução particular
Passo 4
Verificação de ressonância: o “modo” da forçante é dado pelos valores complexos r=−4±i. Como esses não coincidem com as raízes reais r_1 e r_2 da equação característica, não há ressonância e o método é aplicável.
Resposta
O método dos coeficientes a determinar pode ser usado, pois o forçante é da forma e^{-4x}\sin x e −4±i não são raízes de 2r^2−6r+1=0.