A equação x^{3}-147 x+686=0 tem por raízes os números m e n , sendo m raiz dupla e n=-2 \mathrm{~m}. Nessas condições, o valor de ( m+n ) é
(A) 7 .
(B) -7 .
(C) \quad-7 ou 7 .
(D) 7-\mathrm{i}.
(E) \quad-7+\mathrm{i}.

Passo 1

O enunciado dá a equação \;x^{3}-147x+686=0\; e diz que suas raízes são m (raiz dupla) e n, com a relação \;n=-2m\;. A pergunta é: qual é o valor de \;m+n\;?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O polinômio é monico (coeficiente de x^3 é 1).
  • As raízes são m, m, n (com m de multiplicidade 2).
  • Está dado que \;n=-2m\;.
  • Quer-se \;m+n\;.

Passo 2

Vou usar as relações de Viète para um polinômio cúbico monico. Para \;x^{3}+a x^{2}+b x+c=0\; com raízes r_1,r_2,r_3 vale:
r_1+r_2+r_3=-a,
r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3=b,
r_1r_2r_3=-c.
No nosso caso o polinômio é \;x^{3}+0\cdot x^{2}-147x+686\;, logo a=0, b=-147, c=686. Assim:
\text{soma das raízes} = 0, \qquad \text{produto das raízes} = -686.íí

Passo 3

Aplicando a soma das raízes às raízes m,m,n:
2m+n=0.
Isso coincide com a relação dada \;n=-2m\;, então não há contradição aí — é uma confirmação útil.

Passo 4

Agora uso a relação do produto das raízes. Para as raízes m,m,n temos:
m^2 n = -686.
Substituindo \;n=-2m\; obtemos:
m^2(-2m)=-686 \quad\Rightarrow\quad -2m^3=-686.
Dividindo por -2
m^3=343.

Passo 5

Resolver \;m^3=343\;. O número 343 é 7^3, então as raízes cúbicas complexas de 343 são 7, 7\omega e 7\omega^2, onde \omega é uma raiz primitiva da unidade. Porém precisamos ver qual desses valores é compatível com a situação de raízes do polinômio com coeficientes reais e com a multiplicidade.
Explicando: se m fosse não real, então, por simetria dos coeficientes reais, \overline{m} (o conjugado de m) também seria raiz. As raízes do polinômio são somente m,m,n. Assim \overline{m} teria de coincidir com m (o que implica m real) ou com n. Se \overline{m}=n=-2m então, tomando conjugado, \;m=\overline{n}=-2\overline{m}=-2(-2m)=4m\;, levando a m=0, o que contradiria m^3=343. Portanto m não pode ser não real — tem de ser real. Logo m é a raiz real de \;m^3=343, isto é
m=7.

Passo 6

Com m=7 e n=-2m vem
n=-14.
Agora calculo o que foi pedido:
m+n=7+(-14)=-7.

Resposta

-7

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