Seja uma parábola de diretriz e vértice . Prove que , para todo , e que a igualdade ocorre se, e só se, , onde p é o parâmetro de . Isto é, o vértice é o ponto da parábola mais próximo da diretriz L .
Passo 1
O enunciado trata da parábola dada por
com vértice e diretriz . Queremos mostrar que, para todo ponto , a distância de a satisfaz
sendo igual a somente quando . O conteúdo é geometria analítica de cônicas e cálculo de distância ponto–reta.
Passo 2
Escolhemos o sistema de coordenadas de modo que o vértice fique em e o eixo principal seja o eixo . Nesse caso a diretriz tem equação
Um ponto genérico tem coordenadas com e ligados por
Passo 3
A distância de à reta é dada por
Substituindo x = tfracy^24p, obtemos
d(Q,L) = |y^24p + p| = y^24p + p,
pois tfracy^24p+p>=0.
Passo 4
Como tfracy^24p>=0 para todo y, segue
d(Q,L) = y^24p + p ;>=; p
A igualdade ocorre exatamente quando tfracy^24p=0, isto é, quando y=0. Nesse caso Q=(0,0), que é o vértice V.
Resposta
Para todo QinP,
d(Q,L)>= p,
e a igualdade d(Q,L)=p ocorre se, e só se, Q=V. Portanto, o vértice é o ponto da parábola mais próximo da diretriz.