Seja P(y^2=4 p x) uma parábola de diretriz L e vértice V. Prove que d(Q, L) >= p, para todo Q in P, e que a igualdade ocorre se, e só se, Q=V, onde p é o parâmetro de P. Isto é, o vértice checkmark é o ponto da parábola mais próximo da diretriz L .

Passo 1

O enunciado trata da parábola P dada por
y^2 = 4p,x
com vértice V e diretriz L. Queremos mostrar que, para todo ponto QinP, a distância de Q a L satisfaz
d(Q,L)>= p,
sendo igual a p somente quando Q=V. O conteúdo é geometria analítica de cônicas e cálculo de distância ponto–reta.

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas de modo que o vértice V fique em (0,0) e o eixo principal seja o eixo x. Nesse caso a diretriz L tem equação
x = -p
Um ponto genérico QinP tem coordenadas (x,y) com x e y ligados por
x = y^24p

Passo 3

A distância de Q=(x,y) à reta Lcolon x=-p é dada por
d(Q,L) = l|x - (-p)r| = |x + p|
Substituindo x = tfracy^24p, obtemos
d(Q,L) = |y^24p + p| = y^24p + p,
pois tfracy^24p+p>=0.

Passo 4

Como tfracy^24p>=0 para todo y, segue
d(Q,L) = y^24p + p ;>=; p
A igualdade ocorre exatamente quando tfracy^24p=0, isto é, quando y=0. Nesse caso Q=(0,0), que é o vértice V.

Resposta

Para todo QinP,
d(Q,L)>= p,
e a igualdade d(Q,L)=p ocorre se, e só se, Q=V. Portanto, o vértice é o ponto da parábola mais próximo da diretriz.

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