A equação -x^2+y^2 x+y^2=-5 define, implicitamente, y como função de x. Determine o valor de 8[f^prime(3)], sabendo que y(3)=1.

Passo 1

Nesta questão temos a equação -x^2 + y^2x + y^2 = -5 que define y como função implícita de x. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, e vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para encontrar y'.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados em relação a x. Para cada termo temos:
ddx(-x^2) + ddx(y^2x) + ddx(y^2) = ddx(-5)

Passo 3

Calculando termo a termo e lembrando que y=y(x):
-2x + l(2y,y'r)x + y^2 + 2y,y' = 0

Passo 4

Agora agrupamos os termos que têm y':
2y,y',x + 2y,y' + y^2 - 2x = 0

Passo 5

Isolando y':
y'(2y(x+1)) = 2x - y^2

Passo 6

y' = 2x - y^22y(x+1)

Passo 7

Sabendo que em x=3 temos y(3)=1, substituímos:
y'(3) = 2cdot3 - 1^22cdot1,(3+1) = 6 - 18 = 58

Passo 8

Finalmente, calculamos 8[f'(3)] = 8cdot 58 = 5.

Resposta

5

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