Qual equaçāo abaixo corresponde à equaçāo da reta tangente ao gráfico da funçāo definida implicitamente pela equaçāo x^3+18 y^3-19 x y=0, no ponto P0=(1,1) ?.
  • 16 x-35 y+17=0
  • 16 x-35 y+16=0
  • 16 x-35 y+18=0
  • 16 x-35 y+15=0
    O Nenhuma Das Outras Respostas Está Correta
  • 16 x-35 y+20=0
  • 16 x-35 y+23=0
    ( 16 x-35 y+22=0
  • 16 x-35 y+24=0
    () 16 x-35 y+19=0
    ( 16 x-35 y+21=0
    Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente por
x^3 + 18,y^3 - 19,x,y = 0
no ponto P0=(1,1). O conteúdo aqui é derivação implícita para obter a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Derivando implicitamente em relação a x, temos
ddx(x^3) + ddx(18,y^3) - ddx(19,x,y) = 0
ou seja
3x^2 + 54,y^2,y' - 19l(y + x,y'r) = 0
Isolando y':
(54,y^2 - 19x),y' + (3x^2 - 19y) = 0 Longrightarrow y' = 19y - 3x^254,y^2 - 19x

Passo 3

Avaliaremos a inclinação no ponto (1,1):
m = y'(1,1) = 19cdot 1 - 3cdot 1^254cdot 1^2 - 19cdot 1 = 19 - 354 - 19 = 1635

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y - 1 = 1635,(x - 1)

Passo 5

Reescrevendo em forma geral, multiplicamos ambos os lados por 35:
35(y - 1) = 16(x - 1) Longrightarrow 35y - 35 = 16x - 16
Longrightarrow 16x - 35y + 19 = 0

Resposta

16x - 35y + 19 = 0

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