Se f(x)=x^2+2 x+9x^2+81, qual número abaixo corresponde a f^prime(9) ?
  • 11 / 162
    13 / 162
    ( 8 / 162
    6 / 162
  • 7 / 162
    14 / 162
  • Nenhuma Das Outras Respostas Está Correta
  • 9 / 162
    12 / 162
  • 10 / 162
    ( 15 / 162

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^2+2x+9x^2+81
e pede f'(9). Vamos usar a regra do quociente para derivar e depois avaliar em x=9.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente, se
f(x)=u(x)v(x),
então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Aqui u(x)=x^2+2x+9 e v(x)=x^2+81. Logo
u'(x)=2x+2, v'(x)=2x,
e
f'(x) =(2x+2)(x^2+81)-(x^2+2x+9)(2x)(x^2+81)^2

Passo 3

Vamos simplificar o numerador:
(2x+2)(x^2+81)=2x^3+2x^2+162x+162,
(x^2+2x+9)(2x)=2x^3+4x^2+18x,
então o numerador fica
2x^3+2x^2+162x+162-l(2x^3+4x^2+18xr) =-2x^2+144x+162
Portanto
f'(x)=-2x^2+144x+162(x^2+81)^2

Passo 4

Agora avaliamos em x=9:
-2cdot9^2+144cdot9+162 =-2cdot81+1296+162 =-162+1458 =1296,
(9^2+81)^2=(81+81)^2=162^2=26244,
logo
f'(9)=129626244=36729=481=8162

Resposta

8162

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