Na equação de Arrhenius, K=A \cdot e^{-E a / R T}, o termo exponencial representa a fração de colisões efetivas. Se aumentarmos a Energia de Ativação \left(E_{a}\right) de uma reação de adição a um alceno sem alterar a temperatura, o que acontece matematicamente com o valor de K e qual o impacto na velocidade da reação?
Dados:
K= constante de velocidade (L.mol { }^{-1}. s ^{-1}, reação de segunda ordem);
A= Fator de frequência de colisão (número de vezes que a molécula se choca por segundo).
E a= Energia de ativação \left(K . J . \mathrm{mol}^{-1}\right) ; R=8,14 (constante doas gases); T= Temperatura (Kelvin)

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas claras:
  • O que acontece matematicamente com K se aumentarmos a energia de ativação \left(E_a\right) mantendo a temperatura T constante?
  • Qual é o impacto dessa mudança na velocidade da reação (a reação é de segunda ordem, unidades de K foram dadas)?
Dados fornecidos (vou repetir exatamente como vieram):
  • K= constante de velocidade (unidades: \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}, reação de segunda ordem).
  • A= fator de frequência de colisão.
  • E_a= Energia de ativação (unidade: \mathrm{J\cdot mol^{-1}}).
  • R=8{,}14 (constante dos gases, conforme fornecido).
  • T= Temperatura (Kelvin), mantida constante.

Passo 2

Escrevendo a equação de Arrhenius que relaciona tudo isso:
K = A \cdot e^{-E_a/(R T)}.
Aqui cada termo significa:
  • K: constante de velocidade que aparece na lei de velocidade.
  • A: frequência de colisões efetivas por segundo (inclui fatores de orientação).
  • E_a: energia de ativação, energia mínima que uma colisão precisa ter para ser efetiva.
  • R: constante dos gases.
  • T: temperatura absoluta.
A interpretação física da parte exponencial e^{-E_a/(R T)} é: é proporcional à fração de colisões que têm energia igual ou maior que E_a. Quanto maior E_a, menor essa fração, se T for fixo.

Passo 3

Agora aumentamos E_a para um novo valor E_a' mantendo T fixo. A nova constante será
K' = A \cdot e^{-E_a'/(R T)}.
Comparando K' com K obtemos a razão
\frac{K'}{K} = \frac{A e^{-E_a'/(R T)}}{A e^{-E_a/(R T)}} = e^{-(E_a'-E_a)/(R T)}.
Se E_a'>E_a, então (E_a'-E_a)>0 e o expoente é negativo, logo
\frac{K'}{K}<1.
Conclusão matemática direta: aumentos de E_a (com T fixo) fazem K diminuir exponencialmente segundo a relação acima.

Passo 4

Uma forma útil de ver a sensibilidade é a derivada de K em relação a E_a. Diferenciando K=A e^{-E_a/(R T)} em relação a E_a (com A, R, T constantes):
\frac{dK}{dE_a} = -\frac{1}{R T}\,A e^{-E_a/(R T)} = -\frac{K}{R T}.
Isto mostra duas coisas práticas:
  • dK/dE_a<0 (declínio de K quando E_a aumenta).
  • A variação relativa para um pequeno aumento dE_a é
\frac{dK}{K} = -\frac{dE_a}{R T}.
Ou seja: um pequeno incremento dE_a reduz K aproximadamente por esse fator.
Exemplo numérico rápido (apenas para intuir a ordem de grandeza): suponha T=298\\ \mathrm{K} e um aumento \Delta E_a=5{,}0\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}=5000\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}. Usando R=8{,}14 (o valor fornecido),
\frac{K'}{K}=e^{-\Delta E_a/(R T)} \approx e^{-5000/(8{,}14\cdot 298)}.
Esse expoente é aproximadamente -\dfrac{5000}{8{,}14\cdot 298}, que dá um número negativo cujo exponencial é bem menor que 1 (ou seja, K cai bastante). (Se quiser posso calcular esse número exato, mas a fórmula já mostra a dependência.)

Passo 5

Agora o impacto na velocidade da reação. Para uma reação de segunda ordem típica com lei de velocidade
v = K\,[\text{A}]\,[\text{B}],
a velocidade v é diretamente proporcional a K (mantidas as concentrações constantes). Portanto, se K diminui por um fator f=\dfrac{K'}{K}=e^{-(E_a'-E_a)/(R T)}, a velocidade também diminui pelo mesmo fator f:
v' = K'\,[\text{A}]\,[\text{B}] = f\cdot v.
Em palavras: aumentar E_a reduz a fração de colisões efetivas (o termo exponencial), reduz K exponencialmente, e reduz a velocidade na mesma proporção.

Passo 6

Resumo físico e intuição (modo amigo): aumentar E_a deixa a “barreira” da reação mais alta — com a mesma temperatura, menos moléculas têm energia suficiente, então menos colisões são efetivas. Matematicamente isso aparece como um expoente mais negativo em e^{-E_a/(R T)}, fazendo K cair e, consequentemente, a velocidade cair proporcionalmente. Não precisa decorar só a frase: a relação prática e útil para a prova é
\frac{K'}{K}=e^{-(E_a'-E_a)/(R T)}
e para pequenas mudanças
\frac{\Delta K}{K}\approx -\frac{\Delta E_a}{R T}.
Força aí — essa é a fórmula que geralmente cai na prova e que te salva quando perguntam “o que acontece se aumentarmos E_a?”: K diminui exponencialmente e a velocidade diminui na mesma proporção.

Resposta

K diminui: \displaystyle K'=A\,e^{-E_a'/(R T)} com \displaystyle \frac{K'}{K}=e^{-(E_a'-E_a)/(R T)}<1 quando E_a'>E_a.\nA velocidade da reação diminui na mesma proporção, pois v=K[\text{A}][\text{B}] e v'=(K'/K)\,v.

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