A equação da busca da área de uma folha de soja por um predador é dada por
S(x)=8 cdot e^-0,5 cdot x+10
sendo x a densidade de presas por m^2.
Esboce o gráfico de S. Descreva o comportamento do modelo.

Passo 1

O enunciado dá a função de busca de área por um predador em função da densidade de presas:
S(x)=8,e^-0,5x+10
O conteúdo é modelo de decaimento exponencial. Precisamos esboçar o gráfico dessa função para x≥0 e descrever seu comportamento (tendência, assíntotas, monotonia e concavidade).

Passo 2

Vamos encontrar os pontos-chave e limites da função. Primeiro, em x=0 temos
S(0)=8,e^0+10=8+10=18
À medida que x→∞, o termo e^-0,5x →0, logo
limxtoinftyS(x)=10,
o que indica uma assíntota horizontal em y=10.

Passo 3

Para entender a forma da curva, calculamos a derivada e a segunda derivada:
S'(x)=8cdot(-0,5)e^-0,5x=-4e^-0,5x<0,
logo S é estritamente decrescente.
S''(x)=-4cdot(-0,5)e^-0,5x=2e^-0,5x>0,
então a curva é côncava para cima.

Passo 4

Com esses dados, esboçamos o gráfico:
  1. Eixo x ≥ 0 e eixo y.
  2. Marcar o ponto (0,18).
  3. Desenhar a assíntota horizontal y=10.
  4. Traçar uma curva que parte de (0,18), decresce suavemente, côncava para cima e tende a y=10.

Passo 5

Pronto! Temos o esboço com forma de decaimento exponencial, ponto inicial e assíntota. Agora é só descrever o comportamento fisiológico da busca de área.

Resposta

O gráfico de S é uma curva de decaimento exponencial que parte em S(0)=18, decresce de forma estritamente decrescente e côncava para cima, e se aproxima da assíntota horizontal y=10 quando x cresce. Isso significa que, à medida que aumenta a densidade de presas, a área de busca do predador diminui de 18 m² até estabilizar em 10 m².

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