(Equação do Calor Unidimensional) Use a Série de Fourier para solucionar a equação do calor unidimensional dada por
partial upartial t=c^2 partial^2 upartial x^2
com as condições de contorno
u(0, t)=0=u(L, t), forall t
e a condição inicial
u(x, 0)=f(x)
(Dica: Use o mesmo raciocínio que usamos para solucionar a equação da onda onda unidimensional)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação do calor unidimensional usando a Série de Fourier. A gente tem a equação:
partial upartial t = c^2 partial^2 upartial x^2
com as condições de contorno u(0, t) = 0 e u(L, t) = 0 para todo t , e a condição inicial u(x, 0) = f(x) . Para resolver isso, vamos usar conceitos de separação de variáveis e séries de Fourier, que ajudam a decompor a solução em funções mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução u(x, t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x e outra que depende só de t . Ou seja:
u(x, t) = X(x)T(t)
Essa é a ideia de separação de variáveis. Agora, vamos substituir essa forma na equação do calor.

Passo 3

Substituindo u(x, t) = X(x)T(t) na equação, temos:
partial (X T)partial t = c^2 partial^2 (X T)partial x^2
Como X depende só de x e T só de t , podemos derivar:
X(x) dT(t)dt = c^2 T(t) d^2X(x)dx^2

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis dividindo os dois lados da equação por X(x)T(t) :
1T(t) dT(t)dt = c^2 1X(x) d^2X(x)dx^2
O lado esquerdo depende só de t e o direito só de x . Para essa igualdade ser verdadeira para todos x e t , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de -lambda .

Passo 5

Assim, temos duas equações separadas:
  1. Para a parte temporal:
1T dTdt = -lambda Rightarrow dTdt = -lambda T
A solução dessa equação diferencial é:
T(t) = T0 e^-lambda t
  1. Para a parte espacial:
c^2 1X d^2Xdx^2 = -lambda Rightarrow d^2Xdx^2 + lambdac^2 X = 0

Passo 6

A equação espacial é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções gerais na forma de funções seno e cosseno. Considerando as condições de contorno X(0) = 0 e X(L) = 0 , concluímos que as soluções são funções seno:
Xn(x) = sin(npi xL)
Onde n é um número inteiro positivo n = 1, 2, 3, dots . O valor de lambda fica então:
lambdan = (npiL)^2 c^2

Passo 7

Com as soluções para Xn(x) e Tn(t) , a solução geral da equação do calor é uma soma de todas essas soluções individuais:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL) e^-c^2 (npiL)^2 t
Aqui, Bn são os coeficientes da série de Fourier que determinam a contribuição de cada modo.

Passo 8

Para encontrar os coeficientes Bn , usamos a condição inicial u(x, 0) = f(x) :
f(x) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL)
Esses coeficientes são calculados pela integral da função inicial multiplicada pela função seno correspondente:
Bn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx

Resposta

A solução da equação do calor unidimensional é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty ( 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx ) sin(npi xL) e^-c^2 (npiL)^2 t

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