(Equação do Calor Unidimensional) Use a Série de Fourier para solucionar a equação do calor unidimensional dada por
com as condições de contorno
e a condição inicial
(Dica: Use o mesmo raciocínio que usamos para solucionar a equação da onda onda unidimensional)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação do calor unidimensional usando a Série de Fourier. A gente tem a equação:
com as condições de contorno
e
para todo
, e a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de separação de variáveis e séries de Fourier, que ajudam a decompor a solução em funções mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
. Ou seja:
Essa é a ideia de separação de variáveis. Agora, vamos substituir essa forma na equação do calor.
Passo 3
Substituindo
na equação, temos:
Como
depende só de
e
só de
, podemos derivar:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis dividindo os dois lados da equação por
:
O lado esquerdo depende só de
e o direito só de
. Para essa igualdade ser verdadeira para todos
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que vamos chamar de
.
Passo 5
Assim, temos duas equações separadas:
- Para a parte temporal:
A solução dessa equação diferencial é:
- Para a parte espacial:
Passo 6
A equação espacial é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções gerais na forma de funções seno e cosseno. Considerando as condições de contorno
e
, concluímos que as soluções são funções seno:
Onde
é um número inteiro positivo
. O valor de
fica então:
Passo 7
Com as soluções para
e
, a solução geral da equação do calor é uma soma de todas essas soluções individuais:
Aqui,
são os coeficientes da série de Fourier que determinam a contribuição de cada modo.
Passo 8
Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial
:
Esses coeficientes são calculados pela integral da função inicial multiplicada pela função seno correspondente:
Resposta
A solução da equação do calor unidimensional é dada por: